
Векторы
Основные определения векторного исчисления
Понятие вектора
Векторомназывается направленный отрезок, т. е.
отрезок,
одна крайняя точка которого (скажем
)
объявлена началом, а другая концом.
Такой вектор обозначается как
.Длиной или модулемвектора
называется длина отрезка
;
она обозначается как
.
Примерами векторных величин является
скорость, ускорение, сила, перемещение.
Если
,
то вектор
называетсянулевыми обозначается0. Вектора, два или более, называютсяколлинеарными, если прямые, на
которых они лежат, либо параллельны,
либо совпадают. Два вектора
и
называютсяравными, если их длины
равны, они коллинеарны и сонаправлены,
т. е. "смотрят" в одну сторону (см.
рис. 1). Если вектора
и
не лежат на одной прямой, то их равенство
эквивалентно тому, что четырехугольник
есть параллелограмм.
Простое
геометрическое построение убеждает
нас, что для любого вектора
и любой точки
существует единственная точка
такая, что
.
Этот вектор
называется реализацией вектора
в точке
.
Арифметические операции над векторами
Пусть
имеются два вектора
.
Реализуем
в точке A:
,
а вектор
реализуем в точке B:
.
Тогда вектор
назовемсуммой векторов
. Это определение корректно, т. е. результат
суммы двух векторов не зависит от
изначально выбранной точки
.
Из определения суммы векторов вытекает
равенство Шаля:
Равенство Шаля можно обобщить на случай многих векторов:
Существует
другое определение операции суммы двух
векторов -- правило параллелограмма,
но оно "работает" только для не
коллинеарных векторов. Пусть имеются
два неколлинеарных вектора
.
Реализуем их в одной точке A, так что
и
.
Достроим
до параллелограмма
.
Тогда
(см. рис. 2). Результат сложения не зависит
от выбора точки
.
Так как
на рис. 2, то сложение по правилу
параллелограмма приводит к тому же
результату, что и сложение по правилу
треугольника.
Умножить
вектор
на число
значит построить вектор
такой, что
;
(здесь и далее знак
-- символ коллинеарности);
если
, то
и
сонаправлены, а если
, то
и
направлены в противоположные стороны. В случае
вектор
нулевой.
Вектор
можно реализовать прямой ℓ в точке
как вектор
,
где точка
строиться
так, что
,
причем, если>0,
то точка D должна лежать по ту же сторону
от A, что и точка B; если же<0, то точку D следует выбирать на прямой
ℓ по другую сторону от А (см. рис. 3).
Заметим,
что из определения умножения вектора
на число вытекает, что вектор
коллинеарен ненулевому вектору
тогда и только тогда, когда
для подходящего числа
.
Множество всех векторов в пространстве, относительно определенных выше операций сложения и умножения обладает следующими свойствами:
(коммутативность);
(ассоциативность);
(свойство нейтральности нулевого вектора относительно операции сложения);
для любого вектора
существует противоположный вектор
такой, что
;
(ассоциативность умножения);
и
(дистрибутивность);
(унитарность).
Эти
равенства верны для любых векторов
и любых действительных чисели μ . Доказательство этого факта весьма
длинная и скучная, хотя и элементарная
проверка. Коммутативность сложения
следует сразу из правила параллелограмма
сложения двух векторов (если вектора
коллинеарны, то коммутативность сложения
векторов следует из коммутативности
сложения чисел). Докажем ассоциативность
сложения. Реализуем векторaв точке
A:
,
вектор
реализуем в точке B:
,
а векторcреализуем в точке C:
.
Тогда
Здесь
четыре раза мы применили равенство
Шаля. Правые части равны, значит равенство
доказано.
Свойство
IVдоказывается так: если,
то
.
Действительно,
,
где ещё раз применено равенство Шаля.
Для того, чтобы доказать свойствоVзаметим сначала, что модули левой и
правой частей совпадают с
.
Ясно также, что векторы
и
лежат на одной прямой и имеют общее
начало. Остается убедиться, что они
сонаправлены. Это достигается с помощью
перебора следующих случаев 1)>0, μ >0, 2)>0, μ
<0, 3)<0, μ >0, 4)<0, μ <0, 5) либо=0, либо μ =0. В случаях 1) и 4) вектора
и
сонаправлены с
,
а поэтому сонаправлены между собой; в
случаях 2) и 3) эти вектора сонаправлены
с
,
а поэтому также сонаправлены между
собой. В случае 5) эти вектора нулевые.
Свойства IIIиVII-- тривиальности.