7. Тригонометрические функции

Для того, что бы определить тригонометрические функции надо сначала понять, что подразумевается под длиной кривой, заданной как совокупность точек с координатами, где-- параметр, пробегающий некоторый отрезок. Разобьем отрезокзначениями, и обозначим это разбиение одной буквой. Соединим точкипоследовательно отрезками прямых и получим(вписанную) ломаную. Ее длина есть сумма длин звеньев, составляющих ломаную. Длиной кривойназывается точная верхняя грань длин ломаных, гдепробегает всевозможные разбиения отрезка. Не всегда длина существует. Согласно аксиоме полноты это имеет место тогда и только тогда, когда длины вписанных ломаных ограничены сверху. (Например, график функциина отрезкеимеет бесконечную длину каково бымы ни взяли). Однако, если график непрерывной функциивыпукл на отрезке, то он имеет длину. Для верхней полуокружностиэто так. Более того заменяя звено вписанной ломаной на катеты прямоугольного треугольника, построенного на этом звене как на гипотенузе и имеющего стороны параллельные координатным осям, легко находим, что длина полуокружности единичного радиуса. Более точные вычисления дают значение. Обозначим длину полуокружности единичного радиуса как. Имеем. Еще точнее результатЦзу Чунчжи(V веке н. э.) — китайского астронома и математика, --(выделены верные знаки).

— трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа была доказана в 1882 годупрофессором КёнигсбергскогоЛиндеманом. Доказательство упростил Феликс Клейнв 1894 году. Поскольку в евклидовой геометрииплощадькруга и длинаокружности являются функциями числа , то доказательство трансцендентности положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет (построить с помощью циркуля и линейки квадрат равновеликий заданному кругу).

Напомним определение тригонометрических функций. Тригонометрической окружностьюназовем окружность на декартовой плоскости, имеющая единичный радиус с центр в начале координат. Она задается уравнением. Вращение против часовой стрелки назовем положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Пусть задано числоЕсли, то пройдем по тригонометрической окружности от точкирасстояние равноев положительном направлении. Если же, то пройдем расстояниев отрицательном направлении. В итоге приходим в некоторую точку. Абсцисса этой точки называется косинусом числаи обозначается, а ордината этой точки есть синус числа(обозначается). Из определения этих функций и теоремы Пифагора следуетосновное тригонометрическое тождество:

Тогда тангенс и котангенс определяются так:

а секанс и косеканс определяются так:

Построим луч . В точках с координатамиивостановим перпендикуляры к осямисоответственно. Тогда все тригонометрические функции (острого) угласовпадают с длинами отрезков, указанных на рисунке выше.

Таблица значений тригонометрических функций

	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
	0				1	0	-1	0
	1				0	-1	0	1
	0		1			0		0
			1		0		0

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов: