5. Параболы. Гипербола.

График функции или, более общо,называется параболой. У параболыточкаесть точка глобального минимума, т.е. в ней достигается наименьшее значение, равное

Рисунок 2. Параболы

Рисунок 3. Гипербола

нулю. Кубическая парабола в точкекасается оси, однако возрастает в этой точке и вообще на всей числовой оси; сама точкабудет точкой перегиба.

Гипербола терпит разрыв в нуле, график этой функции имеет две ветви. Каждая из ветвей на бесконечности сколь угодно близко подходит к оси Ох.

6. Показательные и логарифмические функции

Ранее была определена степень с натуральным и отрицательным целым показателем, а также арифметический корень n-ой степени. В связи с этим отметим, что , хотя и, но -3 не является неотрицательным числом.

Для любого неотрицательного числа и натурального n степеньесть арифметический корень. Например,. Степень с рациональным показателем m/n , где n∈ℕ, а m -- целое число, получается как комбинация двух предыдущих:

Свойства степеней следующие.

• (основное свойство) ;

• , в частности;

• ;

• ,;

• если , тои; если же, тои

Эти свойства сначала доказываются для целых показателей, а затем для рациональных показателей. Доказательства при этом чисто алгебраические, без использования предела (кроме последнего свойства). В связи с последним свойством заметим, что можно доопределить операции с бесконечностью, полагая для

а для наоборот:

Но операция остается неопределенной.

Лемма. Пустьи. Тогда найдетсятакое, что.

Доказательство сводим к неравенству для заданного положительного𝜺. При достаточно большом натуральном n имеет место неравенство(см. принцип Архимеда). Следовательно, если взять Δ =1/n, тов силу монотонности корня.

Теорема.Для всякого положительного числане равного единице, имеется единственная непрерывная строго монотонная функция, удовлетворяющая перечисленным выше свойствам и совпадающая сдля рационального.

Доказательство. Считаем . Пусть. Определим

В силу леммы монотонность сохраняется: для любых рациональных. Отсюда следует непрерывность. Аналогично разбирается случай.

Докажем первое свойство функции . Пусть. Выберем последовательностирациональных точек, сходящиеся кисоответственно (например, приближения по недостатку бесконечных десятичных дробейи). Далее воспользуемся непрерывностью и свойством 1 в том случае, когда показатели рациональны:

Второе и третье свойства следуют из первого. Четвертое свойство доказывается аналогично первому.

Функцию приназываютпоказательной.Приона возрастающая, а при-- убывающая. Функцияимеет обратнуюпо теореме об обратной функции к непрерывной монотонной функции. Так мы приходим к понятию логарифма. Пустьи. В этом случаетогда и только тогда, когда. Функцияназываетсялогарифмической. Ее область определения -- множество положительных чисел. График логарифмической функции изображен на рисунке выше.

Свойства логарифмической функции следующие

• (основное свойство) ;

• ;

• (здесь);

• (здесь-- любое ненулевое число);

• , отсюдаи;

• ;

• если , тои; если же, тои.

Эти свойства есть следствия свойств показательной функции. Если -- основание натуральных логарифмов, то полагаюти называют эту функцию натуральным логарифмом. Также записываюти называют эту функцию экспонентой.