2. Основные элементарные функции

Мы начинаем изучение основных элементарных функций

а) -- линейная функция. Графиком этой функции служит прямая, не параллельная оси.

б) -- квадратный трехчлен. График этой функции называется параболой.

в). График этой функции --кубическая парабола.

г) --многочлен степени (при условии)

д) и, более общо, любая дробно-линейная функцияпри условииГрафик такой функции называется гиперболой. Гиперболатерпит разрыв в нуле, график этой функции имеет две ветви. Каждая из ветвей на бесконечности сколь угодно близко подходит к оси Ох. Этот факт имеет следующую запись:(см. параграф «Предел функции»).

е)-- рациональная функция или рациональная дробь. Здесьи-- многочлены.

ж) -- корни n-ой степени.

з) -- показательные функции. Графики таких функций называются экспонентой.

и) -- логарифмические функции.

к) -- тригонометрические функции. Графикназывается синусоидой. Графикназывается тангенсоидой.

л) -- обратные тригонометрические функции

м) -- функция модуля.

н) -- функция знака.

Полное исследование функции включает в себя следующие моменты

А. ОДЗ и область значений функции. Область непрерывности функции. Точки разрыва.

Б. Нули функции, т.е. решения уравнения .

В. Симметрия графика функции -- четность, нечетность, периодичность. Другого рода симметрия.

Г. Исследование на монотонность и вычисление точек максимума и минимума. Вычисление наибольшего и наименьшего значения функции.

Д. Исследование на выпуклость и вогнутость графика функции. Вычисление точек перегиба.

Е. Ассимтотическое поведение функции в точках разрыва и на бесконечности.

Ж. Интегральные характеристики функции -- площадь под графиком, длина графика и т.п..

Полное исследование возможно только при развитом дифференциальном и интегральном исчислении. Пока ограничимся только общими характеристиками, доступными в пределах введения в анализ.

Функция называется элементарной, если она может быть получена из перечисленных выше основных элементарных функций действиями сложения, вычитания, умножения, деления и подстановкой функции в функцию. Так, например,-- элементарные функции. Однако существуют очень важные функции, не являющиеся элементарными. Таковыми, например, являются функция ошибок и интегральный синус.

Еще один пример неэлементарной функции:. Она не элементарна, так как имеет разрыв в нуле (см. принцип непрерывности).

3. Линейные функции

Имеют вид . Графиком такой функции служит прямая, не параллельная оси. Коэффициентравен тангенсу угла наклона этой прямой, а-- координата точки пересечения графика с осью-- см. рис. Функциявозрастает на всей числовой прямой, еслии убывает, если. Приграфик ее параллелен оси.

Вертикальные прямые задаются уравнением .

4. Модуль и знак

Рассмотрим функцию модуля . Она четна, неотрицательна, неограничена. Приона совпадает с прямойи возрастает, а приона совпадет с прямойи убывает. Точкаособая -- в ней происходит излом графика функции модуля.

Функция знака определена при всех x≠ 0. Она нечетна, принимает только два значения -- ± 1, и поэтому ограничена. В точке 0 имеет разрыв.

-1

1

Рисунок 1. Модуль и знак