Функции

Оглавление

1Функции 1

1.1Декартовы координаты на плоскости 3

1.2Основные элементарные функции 4

1.3Линейные функции 6

1.4Модуль и знак 7

1.5Параболы. Гипербола. 8

1.6Показательные и логарифмические функции 8

1.7 Тригонометрические функции 12

Произведения 16

Степени 16

Суммы 17

Однопараметрическое представление 17

1.8Обратные тригонометрические функции 17

1. Функции

Пусть -- числовые множества.Функцией одной переменнойс областью определения (ОДЗ)иобластью прибытияназывается правило, в силу которого каждому числу(аргумент) ставится в соответствие некоторое число(значение функции). Функция двух переменныхопределяется также, но в качестветеперь берется некоторая область на плоскости.

Примеры. а) Функция, заданная формулой, не является ни отображениемна(отрицательные числа не имеют прообразов), ни взаимно однозначным (, но). Однако, если эту же формулу рассматривать как отображениена, то оно будет биективным, и обратным отображением к нему будет.

б) Функции ивзаимно обратны. Первая отображаетна, а вторая наоборот.

в) Функция синуса не является взаимно однозначно. Если сузить на отрезок, то она биективно отображает этот отрезок на отрезоки обратным отображением служит.

Самой простой функцией является тождественная . Ее график – биссектриса первого и третьего квадрантов. Отправляясь от такой функции с помощью арифметических операций можно получить любой многочлен. Если допустить и операцию деления, то из тождественной функции можно получить любую рациональную функцию, т.е. отношение двух многочленов. Значения рациональной функции можно вычислить вручную, в отличие от значений трансцендентных функций –.

Можно задавать функцию таблицей из двух строк, где в первой строке перечислены все возможные аргументы, а во второй – соответствующие им значения. В математике чаще прибегают к аналитическому способу задания функции. Опишем процесс построения аналитического выражения. Пусть фиксированные функции, каждая из которых возможно зависит от нескольких переменных. Числомобозначим количество переменных функции. Тогда аналитическим выражением с базойи множеством переменныхназывается функция, построенная в соответствие со следующим рекуррентным правилом:

• для какого-либо, где-- переменные;

• для какого-либо, где все-- аналитические выражения.

Если база состоит только из трех типов функций: , а переменная одна,, то класс аналитических выражений совпадает с многочленами одной переменной. Если расширим базу двуместной операцией деления, то получим семейство дробно-рациональных функций вида(см. далее). Если же базу дополнить еще и функциями, то получимкласс элементарных функций.

Естественной ОДЗ аналитического выраженияназывается совокупность всех чисел, при которых все операции, входящие в аналитическое выражение определены, и получается итоговый результат --.

Пример. Естественная ОДЗ функцииесть отрезок.

1. Декартовы координаты на плоскости

На плоскости выберем точку (начало координат), единицу масштаба и две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку, которые превратим в оси с началом. Все это и называется декартовой системой координат. Каждая точкана плоскости получит пару координат. Соответствие между точками на плоскости и декартовым квадратомбудет биективным. Расстояние между точкамиинаходится по формуле

Принцип Декарта: любое уравнение вида

задает кривую на плоскости состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Именно так и определяется график функции . Наоборот, кривые на плоскости (прямые, окружности, эллипсы, гиперболы, параболы и т.д.), определяемые в геометрических терминах, задаются аналитически уравнением вида (2)

Примеры. Уравнение вида, гдеодновременно не равны 0, задает прямую на плоскости и каждая прямая на плоскости задается таким уравнением. Окружность радиусас центром в точкезадается уравнением

Области на плоскости задаются либо одним неравенством вида

либо системой таких неравенств.

Примеры. Неравенство вида, гдеодновременно не равны 0, задает полуплоскость и каждая полуплоскость задается таким неравенством. Круг радиусас центром в точкезадается неравенством