1167

значения εx , εy , γxy из формул закона Гука (80), получаем:

Преобразуем (б), исключив из него касательные напряжения τxy . Для этого продифференцируем первое уравнение равновесия

(статическое) (78) по x, второе – по y, третье – по z. Складывая почленно два первых из полученных уравнений и вычитая третье, находим:

Аналогично можно преобразовать остальные уравнения не-

разрывности деформаций (53) (или можно сделать круговую подстановку букв x, y, z в уравнении (г)). В результате получим уравнения Бельтрами – Митчела:

Эти уравнения получены Бельтрами в 1892 г. В 1899 г. Митчел вывел эти уравнения для случая, когда объемные силы не постоянны, и, следовательно, в правую часть уравнений (86) вместо нулей входят члены, содержащие производные от объемных сил.

Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряжениях необходимо проинтегрировать девять уравнений: три равновесия (78) и шесть (86). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения и обсуждалось при выводе уравнений неразрывности деформаций (53), следствием которых являются уравнения Бельтрами-Митчела.

Полученные после интегрирования шесть составляющих напряжений должны удовлетворять условиям на поверхности (8). После этого по формулам закона Гука (80) определяют составляющие деформации, а из формул Коши (79) – составляющие перемещения ux ,uy ,uz .

4.4. Теорема единственности. Методы решения задач теории упругости

При решении задач теории упругости может возникнуть вопрос о том, является ли полученное решение однозначным, т. е. могут ли заданным объемным и поверхностным силам соответствовать одна или несколько различных систем напряжений.

Докажем следующую теорему.

Для тела, находящегося в естественном состоянии, решение задачи теории упругости единственно, если справедлив принцип независимости действия сил.

Предположим обратное: под действием заданных поверхностных pxν, pyν, pzν и объемных X, Y, Z сил возможны две различ-

ные системы напряжений

σ'x , σ'y , σ'z , τ'xy , τ'yz , τ'zx и σ'x' , σ'y' , σ'z' , τ'xy' , τ'yz' , τ'zx' .

Обе эти системы напряжений должны удовлетворять уравнениям статического равновесия (78)

72

теории упругости единственно, то безразлично, каким математическим методом решена задача.

Можно указать три основных метода математического решения задачи теории упругости:

1.Прямой метод. Этот метод заключается в непосредственном интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными условиями на поверхности (54) - (56).

2.Обратный метод. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям совместности деформаций или равновесия, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений.

3.Полуобратный метод Сен-Венана. Прирешении задачи этим методом делают допущения о виде некоторых из функций напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей. Полуобратный метод является одним из наиболее эф-

фективных методов решения задачи теории упругости.

Контрольные вопросы

1.Сколько неизвестных функций необходимо определить при решении пространственной задачитеории упругости?

2.Является ли с математической точки зрения разрешимой задача определения компонентов перемещения, напряжений и деформаций?

3.Укажите способы решения задач теории упругости.

4.Как решается задача теории упругости в перемещениях?

5.Синтезом каких уравнений являются уравнения Ламе?

6.Укажите план решения задачи теории упругости в перемещениях.

7.В чемсуть решения задачи теории упругости в напряжениях?

8.Какая функция является гармонической?

9.Описываются ли гармоническими функциями объемная деформация и первый инвариант тензора напряжений?

75

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

5.1. Плоская деформация

Если при каком-либо напряженном состоянии тела перемещения всех его точек могут происходить только в двух направлениях, т. е. только в одной плоскости, то такая деформация называется плоской. Примером может служить тело, помещенное между двумя абсолютно твердыми плитами (рис. 16), расстояние между которыми остается неизменным, и сжимаемое силами, параллель-

ными плоскостям плит.

В таких же условиях фактически оказывается тело, размеры которого в одном направлении, например в направлении оси z, очень велики (например длинном цилиндрическом катке, длинной пластинке и т. д.).

Если такое длинное в направлении, например, оси z тело нагружено силами (рис. 17), не меняющимися по длине тела и перпендикулярными к этому направлению, то часть его, находящаяся на значительном расстоянии от концов, фактически будет подвергаться плоской деформации.

76

Из анализа формул (б), (в) и (80) следует, что τyz = τzx = 0 , а

σx = σx (x, y); σy = σy (x, y); τxy = τxy (x, y).

На основании формулы (87) напряжение σz также является функцией только двух координатσz = σz (x, y) .

Таким образом, основные уравнения теории упругости в случае плоской деформации значительно упрощаются. Из дифференциальных уравнений равновесия (78) остаются только два

а третье превращается в тождество.

Так как на боковой поверхности упругого тела везде направляющий косинус n = 0, то из условий на поверхности (8) остаются также только два

Формулы Коши (79) сведутся к трем

Из шести уравнений неразрывности деформаций (53) остается только одно

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (80) с учетом соотношений (б) и

78