1167

Функция, стоящая в подынтегральном выражении в нашем случае является заданной нагрузкой, которая зависит от x. Обозначим ее через q(x) . Таким образом, из (108)

Таким образом, нагрузка, положим, по верхнему краю (напомним, что α=nπ/L, n = 1, 2, 3,…, n) в соответствии с (107)

Такое же выражение будет и для нагрузки по нижнему краю. Вычисляя, легко убедиться, что при –a < x < +a нагрузка равна q1, а на остальном протяжении равна нулю.

Для того чтобы написать граничные условия, следует составить выражение напряжений, дифференцируя функцию φ (формула (97)) соответственно формулам (96), и установить связь между напряжениями на контуре и внешней нагрузкой.

При помощи рядов могут быть найдены решения для очень многих задач.

Так, исследование случая, приведенного на рис. 24, приводит к заключению, что вблизи концов пластинки напряжения распределяются крайне неравномерно, но затем они выравниваются и на достаточно большом расстоянии становятся почти равномерными [14]. Напряжения σy при таком нагружении определяются по фор-

муле [14]

93

Распределение напряжений в средних сечениях мало зависит

творить граничным условиям по боковым граням.

5.4.3. Понятие о методе конечных разностей (методе сеток) для решения плоской задачи

При поиске количественного описания физического явления обычно вводят в рассмотрение некоторую систему обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия. На этой стадии математическая модель замкнута, и для практических применений требуется только найти решение для конкретного множества числовых данных. Здесь, однако, возникают основные трудности, так как точному решению существующими математическими методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри геометрически тривиальных границ. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним из немногих примеров, для которых имеются стандартные процедуры решения, но даже здесь при большом числе зависимых переменных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность воспользоваться ПЭВМ, необходимо преобразовать задачу к чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметические операции. Для достижения этой цели могут быть использованы различные виды дискретизации непрерывной задачи, опреде-

94

ленной дифференциальными уравнениями. При этом бесконечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, заменяется конечным числом неизвестных параметров, и для этого процесса, вообще говоря, требуется некоторая форма аппроксимации. Среди различных возможных видов дискретизации одним из простейших является процесс перехода к конечным разностям. Рассмотрим основные понятия этого процесса, что позволит сформулировать суть метода.

Точное решение бигармонического уравнения (97) плоской задачи во многих случаях оказывается очень сложным. Для его решения можно применить приближенный метод конечных разностей. Его еще часто называют конечно-разностным, или методом сеток [15]. Идея метода состоит в том, чтобы решение плоской задачи через функцию напряжений φ, определяемую бигармоническим уравнением (97), свести к алгебраическим уравнениям.

В методе конечных разностей частные производные бигармонического уравнения приближенно заменяются конечными разностями, в результате чего оно превращается в алгебраическое.

Установим зависимости между производными функции в произвольной точке и значениями функции в этой, а также в соседних точках. На рис. 25 изображена кривая φ(x) и показаны пять точек, абсциссы которых отличаются на малую величину ∆x . По определению производная функции φ(x) в точке 0 равна

ϕ'0 = lim ϕ1 −∆ϕ−1 . 2 x

∆x →0

Если интервал между точками h = ∆x мал, то производную в точке 0 приближенноможнопредставитьтак12:

Аналогично можно представить

производную в точке 1

Рис. 25. К определению производных функции φ(x)

12 Во всех полученных ниже формулах знак равенства означает ≈. 95

(+1/2) и (-1/2) погрешность при вычислении производных уменьшается в 2 раза.

Тогда вторая производная для точки 0 будет иметь следующий вид, если выразить ее через разности первых производных в точках (+1/2) и (-1/2)

где в соответствии с (в)

Для получения выражения четвертой производной в точке 0 сначала найдем третьи производные в промежуточных точках

(+1/2) и (-1/2)

= h13 (ϕ2 −3ϕ1 +3ϕ0 −ϕ−1),

96

ϕ'−''1/ 2 = 1h (ϕ'0' −ϕ'−' 1) = h13 [(ϕ1 − 2ϕ0 + ϕ−1) −(ϕ0 − 2ϕ−1 + ϕ−2 )] =

= h13 (ϕ1 −3ϕ0 +3ϕ−1 −ϕ−2 ).

Четвертую производную в точке 0 представим через разности третьих производных в точках (+1/2) и (-1/2)

Таким образом, мы получили для некоторой точки 0 выражения для первых четырех производных, представленных через значения функции φ(x) в соседних точках. Расстояние между соседними точками (шаг аргумента) принято равным h. Особенностью полученных выражений для производных является то, что они получены через так называемые центральные разности – через разности значений функции φ(x) или ее производных справа и слева от точки 0.

Выпишем сводку полученных значений производных через конечные разности

Если функция зависит не от одной, а от двух переменных, то частные производные этой функции могут быть получены так же, как это было показано выше.

Пусть ϕ = ϕ(x, y) является функцией двух переменных. Нане-

сем на область Oklm вблизи точки 0, для которой определяются производные, сетку с шагом h в направлении осей x и y (рис. 26).

В общем случае шаги сетки по осям x и y могут быть различными.

Первые и вторые производные в точке 0 по одной из координат легко составить по аналогии с формулами (111)

97