Учебное пособие по МПП

Если в системе дифференциальных уравнений (4.13) положить все производные равные нулю (при t зависимость от времени пропадает), то она превращается в систему обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормированным условием (4.14) дает возможность вычислить все предельные вероятности состояний.

При dPi 0 имеем dt

лP0 мP1,

лP1 мP1 лP0 мP2 ,

мPm 1 лPm.

После преобразований система (4.15) перепишется в виде цепочки уравнений

Окончательное выражение для Р0 имеет вид

1

P0 1 б б2 .... бm 1 .

Остальные вероятности состояний можно найти по формулам табл.

4.2.

Многоканальная СМО с ожиданиями

Пусть имеем n-канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью , интенсивность обслуживания одного канала равна , число мест в очереди ограничено заданным числом m. Вычислить основные характеристики СМО.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

S0 - все каналы свободны;

S1 - занят только один канал;

101

S2 - заняты только два канала; Sn - заняты все n каналов.

Когда СМО находится в любом из этих состояний, очереди еще нет. После того, как будут заняты все каналы обслуживания, а заявки продолжают поступать, образуется очередь. Тогда состояния системы будут:

Sn+1 - заняты все n каналов и одна заявка в очереди; Sn+2 - заняты все n каналов и две заявки в очереди;

……………………………………………………

Sn+m - заняты все n каналов и все m мест в очереди.

Граф состояний системы представлен на рис. 4.29.

Рис. 4.29. Размеченный граф состояния

Действительно, переход системы в состояние с большими номерами (слева направо) вызывается только потоком заявок с интенсивностью . По стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживания, интенсивность которого равна , умноженная на число занятых каналов. Действительно, полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния S , когда все n каналов скажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания больше не увеличивается, так как она уже достигла максимума, равного (n ).

Не повторяя соответствующих рассуждений, запишем сразу в окончательном виде основные формулы, отражающие работу СМО с ожиданием, введя для упрощения записи обозначение

/ = - приведенная интенсивность; α/n = β - нагрузка.

102

Таблица 4.3

До возникновения очереди

……………………….. …………………………………..

После возникновения очереди

Вычислим основные характеристики СМО, для чего запишем нормировочное условие

Р0 + Р1 + Р2 + ... + Рn +m = 1

103

и подставим в него значения вероятностей Рi выраженные через вероятность Р0, тогда вероятность того, что все каналы свободны - определяется по выражению

Другие вероятности состояний определяются по данным табл. 4.3. Вероятность того, что все каналы и места ожидания заняты и заявка

получает отказ в обслуживании

Среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди

tо Ан .

л

Среднее время пребывания заявки в системе

1 tc to м .

Коэффициент занятости каналов

Кз = Мз/n.

Коэффициент простоя каналов

Кпр = 1 - Кз.

104

Программа расчета основных показателей СМО, составленная на алгоритмическом языке Q Basic приведена в прил. 5.

4.5. Оптимизация числа оборотных агрегатов методами теории массового обслуживания

Рациональное управление производством и распределением оборотного фонда запасных частей, узлов и агрегатов, используемых при ремонте автомобилей, имеет важное производственное значение.

Одним из методов решения поставленной задачи может служить математический аппарат теории массового обслуживания, описывающий процессы, протекающие в СМО.

В системах массового обслуживания поток требований является случайным. Случайно и время обслуживания. Работа СМО протекает нерегулярно; то образуется очередь на обслуживание, то происходит простой постов (аппаратов) обслуживания. Задача теории массового обслуживания - установить оптимальную (с минимальными простоями) зависимость между характером потока требований, числом постов и их производительностью (временем обслуживания), правилами работы системы обслуживания.

Наиболее часто в качестве критериев - показателей эффективности работы систем массового обслуживания - используются показатели среднего времени ожидания требования начала обслуживания; среднего размера очереди на обслуживание; вероятности того, что в системе обслуживания будет находиться определенное количество требований; среднее число аппаратов, занятых или свободных от обслуживания, и ряд других. Однако наиболее целесообразно использовать экономические показатели оценки эффективности функционирования систем массового обслуживания, которые дают обобщенную характеристику производственного процесса. В этом случае в качестве критерия эффективности функционирования СМО обычно выбираются общие денежные затраты, связанные и простоями автомобилей в ожидании обслуживания, и затраты на создание и эксплуатацию постов (аппаратов).

Пример. В автотранспортном предприятии, имеющем одномарочный подвижной состав, применяется агрегатный метод ремонта. Ремонт осуществляется путем замены неисправного агрегата на годный, взятый со склада. При отсутствии на складе агрегатов автомобиль ожидает ремонта.

105

В данном примере входящий поток требований образуют автомобили с неисправными агрегатами. Обслуживающими аппаратами являются оборотные агрегаты. Дисциплина замены агрегатов - в порядке поступления требований, а процесс замены их можно рассматривать как СМО с ожиданием.

Задачу оптимизации оборотного фонда агрегатов автотранспортного предприятия сведем к отысканию минимума целевой функции

z Cож Aн CN Ac ,

где Сож - издержки в рублях, вызываемые простоем одного автомобиля в ожидании поступления отремонтированного агрегата в течение суток; Ан - среднее число неисправных автомобилей, ожидающих поступления отремонтированных агрегатов (среднее число автомобилей в накопителе);

СN - издержки, вызываемые неиспользованием одного отремонтированного агрегата в течение суток;

Ac - среднее число неиспользованных агрегатов (пролежавших на складе). Сож и СN определяются путем калькуляции. Ан и Ас определяются методами теории массового обслуживания для конкретных условий производственной деятельности АТП и зависят от числа оборотных агрегатов N. Если автомобили поступают на ремонт (замену агрегата) с интенсивностью , а среднее время возврата агрегата на склад составляет Тоб =

1/ ,

то для разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием имеем следующие расчетные формулы.

Для упрощения формул используются выражения а = λ/μ. Загрузка = a/n.

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты (агрегаты) свободны

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты (агрегаты) за-

няты

Pн P0aN .

N!(1 в)

Среднее число требований (автомобилей) в накопителе

106

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (агрегатов)

Первоначальное расчетное число оборотных агрегатов определяется

по условию a Nmin .

Изменением числа оборотных агрегатов oт Nmin до N (рис. 30) определим оптимальное число оборотных агрегатов из условия целевой функ-

ции z Cож Aн CN Ac min .

Расчет параметров функционирования подобных систем массового обслуживания целесообразно осуществлять на ЭВМ. Алгоритм решения данной задачи представлен на рис.31. Программа может иметь следующее содержание (cм. прил. 6).

Результаты счета по приведенной программе для одного варианта исходных данных могут иметь вид:

-исходные данные L = 1; T1 = 3; Cож = 25; СN = 3;

-приведенная интенсивность А = 3; N = 8,

N - кол-во каналов (агрегатов) обслуживания; Z - затраты суммарные, руб. Авт. - среднее число неисправных автомобилей в накопителе; Агр. - среднее число неиспользованных агрегатов; V - изменение суммарных затрат, руб.

107

Pис.4.31. Блок-схема алгоритма программы оптимизации числа

оборотных агрегатов

108

Контрольные вопросы

1.Дайте определения следующим понятиям: случайный процесс; реализация случайного процесса; сечение случайного процесса.

2.Приведите классификацию случайных процессов.

3.Перечислите основные характеристики случайных процессов.

4.Дайте определение потоку событий, назовите признаки, по которым они подразделяются.

5.Перечислите свойства простейшего потока событий.

6.Что такое интенсивность потока событий? Физический смысл интенсивности потока событий.

7.Особенности потока Пальма и Эрланга.

8.Дайте определение Марковскому случайному процессу.

9.Назовите основные характеристики случайного процесса с дискретными состояниями и дискретным временем.

10.Правила записи уравнений Колмогорова.

11.Дайте определение предельным вероятностям состояний.

12.Изобразите графически случайный процесс чистого «размножения» и процесс чистой «гибели».

13.Перечислите признаки, по которым подразделяются СМО.

14.Назовите основные исходные параметры, которые используются при анализе работы СМО.

15.Запишите основные вероятностные показатели функционирования СМО.

16.Изобразите размеченный граф состояний многоканальной СМО с ожиданием.

17.Запишите формулы подсчета среднего числа занятых каналов и среднего числа заявок, стоящих в очереди.

Глава 5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решать задачи исключительной сложности с учетом случайных факторов.

Метод имитационного моделирования удается успешно реализовать с помощью ЭВМ. Однако использование ЭВМ для целей имитационного моделирования требует умения разработки моделирующего алгоритма, ко-

109

торый должен воспроизвести формальный процесс сложной системы. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях производственного процесса в произвольный момент времени.

Разработка моделирующего алгоритма невозможно без глубокого знания моделируемого объекта и его функционирования, причем, в процессе разработки происходит углубление и уточнение понимания объекта. Поэтому процесс разработки модели имеет и самостоятельное значение. Так как позволяет обнаружить недостатки, вскрыть резервы, открыть новые возможности объекта еще до моделирования и дать важные практические рекомендации по совершенствованию объекта и повышению эффективности его функционирования.

Одним из преимуществ моделирования производственных процессов является возможность рассмотрения переменных факторов во всем диапазоне их значений.

Имитационное моделирование, при котором воспроизводятся случайные явления, называется статистическим имитационным моделированием. Статистическое имитационное моделирование базируется на численном статистическом методе решения математических задач, называемом методом Монте-Карло.

5.1. Общие положения метода статистического моделирования

Метод статистического моделирования обычно включает следующие этапы:

1.Вначале дается описание функционирования системы, т.е. описание задач, стоящих перед системой, уточняются исходные (отправные) положения; рассматриваются ограничения; выделяются подпроцессы; намечаются характеристики, которые требуется получить на выходе, и выбираются целевая функция или критерий, с помощью которого будет производиться оценка эффективности функционирования системы.

2.Производится сбор и обработка информации, характеризующей работу подпроцессов системы и всего процесса в целом.

3.Производится формализация работы системы, т.е. выделяются главные факторы и исключаются второстепенные, которыми можно пренебречь. На основе этого составляется отвечающая система адекватная математическая модель процесса.

110