Учебное пособие по МПП

Таким образом, любую предельную вероятность Pi (i = 1, 2, …, n) можно выразить через предельную вероятность P0 . Вероятность P0 можно найти из нормировочного условия

i 1k 1лk,k 1

Формулы (4.8) и (4.9) дают возможность вычислить предельные вероятности состояний простейшего процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме при конечном числе состояний.

4.4. Моделирование методами теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания описывает процессы, протекающие в системах массового обслуживания (СМО) (рис. 4.26). К СМО относятся ремонтные мастерские, станции технического обслуживания, автозаправочные станции и т.д.

Рис. 4.26

91

Случайный характер потока заявок приводит к тому, что в СМО происходит какой-то случайный процесс. Если случайный процесс Марковский, то функционирование СМО можно описать системой дифференциальных уравнений, а в предельном случае – системой линейных алгебраических уравнений, решением которых определяются характеристики работы СМО.

Методы теории массового обслуживания позволяют решать следующие задачи автомобильного транспорта:

-определить количество линий или постов ТО и Р автомобилей;

-определить рациональное количество оборотных агрегатов;

-производить расчет количества постов погрузки и разгрузки автомобилей, а также многие другие задачи.

При анализе работы СМО необходимо знать её основные исходные параметры:

-интенсивность потока заявок - λ;

-трудоёмкость обслуживания одной заявки - Тр;

-число каналов обслуживания - n;

-число мест ожидания - m;

-количество операторов на каждом канале - d;

-условия, накладываемые на образование очереди.

При описании режима работы СМО используются промежуточные параметры:

-время обслуживания одной заявки - t0 = Tp/d;

-производительность каждого канала обслуживания - μ = 1/t0; (среднее число заявок, обслуживаемое каналом в единицу времени);

-приведенная интенсивность обслуживания α = λ/μ;

-коэффициент загрузки β = α/n.

4.4.1. Классификация и показатели работы систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания подразделяются по ряду призна-

ков:

1. По времени ожидания (Тх):

-без ожидания или с потерями требований (Тх = 0);

-с ожиданием или без потерь (Тх = 0 - ∞);

-с ограниченным временем ожидания (Тх = 0 – τ).

92

Системы с неограниченным ожиданием начала технического воздействия является наиболее реальным. Это обусловлено те, что в условиях Российской Федерации перегоны (нулевые пробеги) до поста обслуживания весьма велики. Существует дефицит запчастей и материалов, отсутствует оперативная связь между региональными СТОА, не развиты фирменные системы сервиса и т.п. Поэтому клиент вынужден ждать начала обслуживания иногда и вне зоны ожидания.

2. По числу требований в сутки (Nc):

-с ограниченным входящим потоком, или замкнутые (Nc = 0…k);

-c неограниченным потоком, или открытые (Nc = 0…∞).

Число требований на СТОА не может быть заранее ограничено, системы являются открытыми (разомкнутыми).

3. По количеству каналов (обслуживающих аппаратов):

-с ограниченным числом обслуживающих аппаратов (х = 0…n);

-с неограниченным числом обслуживающих аппаратов (х = 0…∞). 4. По числу фаз (r):

-однофазные (r = 1);

-многофазные (r > 1).

Многофазные СМО используются при поточном виде обслуживания (например, диагностика - ТО).

5. По уровню организации:

-упорядоченные (энтропия Э = 0);

-неупорядоченные (Э > 0).

Порядок обслуживания устанавливается в результате анализа СМО. При дальнейшем рассмотрении вопросов функционирования СМО

мы остановимся на двух основных видах:

-СМО с отказами;

-СМО с ожиданием обслуживания.

Всистемах с отказами обслуживаются только те требования, которые поступают в момент времени, когда хотя бы один из каналов обслуживания был свободен. Если все каналы заняты, то заявка покидает СМО необслуженной.

ВСМО с ожиданием заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, ждет освобождения канала обслуживания, то есть встает в очередь.

93

Различают одноканальные и многоканальные СМО с ожиданием, при этом на длину очереди могут быть наложены ограничения, определяющие максимальную длину очереди.

Все показатели (характеристики) функционирования СМО можно разделить на четыре группы:

-вероятностные;

-количественные;

-временные;

-качественные.

Вероятностные показатели

Будем говорить, что требование находится в СМО, если оно ожидает обслуживания или находится на обслуживании. Обозначим J число требований, находящихся в СМО. Так как с течением времени это число меняется, то J является случайной величиной. Предположим, что произведено очень большое количество наблюдений над СМО, в результате которых установлена доля случаев, когда в системе наблюдалось ровно J требований. Эта величина называется вероятностью рJ того, что в СМО имеется J требований.

Все вероятности состояний должны удовлетворять условию нормировки, согласно которому сумма всех вероятностей должна равняться единице, т. е.

m s

pj 1.

j 0

Требование получает отказ в том и только в том случае, если в момент своего поступления в СМО застает занятыми как все каналы, так и все места накопления. Если в системе имеется n аппаратов и m мест накопителя, то вероятность данного события равна

Pотк = Рm+n.

Эта вероятность называется вероятностью отказа. Вероятность нахождения в СМО не более i требований

i

Pi pj .

j 0

Вероятность отсутствия очереди

n

Pот.оч P n pj ; j 0

94

Вероятность того, что требованию не придется ожидать начала обслуживания

Р(Ам < n) = 1 – Р(Aм – n) = Рот.оч – Рn;

Вероятность наличия очереди

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты

Р(Ам + n) = ∑рj = Рн.оч + Рn;

Вероятность обслуживания

Робс = 1 – Ротк .

Количественные показатели

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов

n

Aс (n i)pi .

i 0

Среднее число требований занятых обслуживающих аппаратов

n m n

Aм ipi n pi n Aс .

i 0 i n 1

Среднее число требований в накопителе

Среднее число требований в обслуживающей системе

n m

A ipi Ан Ам .

i 0

Среднее число требований, получающих отказ за единицу времени

Аотк= λРотк.

Временные показатели

Важным показателем является среднее время ожидания начала обслуживания Тож. Сумма среднего времени ожидания Тож и обслуживания Тобсл равна среднему времени пребывания требования в системе Тсист

Тсист = Тож + Тобсл.

95

Установим полезную связь между средним числом требований, находящихся в системе, и средним временем пребывания требования в системе. Так как за единицу времени в систему поступает λ требований, а средняя продолжительность пребывания одного требования в системе есть Тсист, то суммарная продолжительность нахождения всех требований в системе за единицу времени равна (λТсист). Но так как в системе находится в среднем А требований, то эта величина равна произведению единицы времени на А, т. е.

А = λТсист.

Аналогично можно вывести формулу

Ан = λТож.

Качественные показатели

Приведенные показатели характеризуют степень использования обслуживающих аппаратов и затраты времени на пребывание требований в системе (в очереди и на обслуживание). Обычно бывает необходимым соизмерить эти величины, чтобы найти экономически оптимальное решение. В связи с этим предположим, что за единицу времени пребывания требования в системе обслуживания имеют место убытки, равные С. Кроме того, эксплуатация одного аппарата приводит за единицу времени к расходам, равным К. Отметим, что в величину К обычно входят как эксплуатационные расходы, так и удельные капитальные затраты на один аппарат, связанные с его приобретением и приходящиеся на единицу времени. Пусть далее отказ в обслуживании одного требования влечет убыток, равный Со.

Тогда приведенные средние затраты, связанные с эксплуатацией n аппаратов, поступлением в систему в единицу времени λ требований и убытками от отказов требованиям, в единицу времени в в среднем составляют

Э= СоλРотк + СТсистλ + Кn.

Вэтом выражении Тсист (среднее время пребывания одного требова-

ния в системе), а вместе с ним и слагаемое (СТсистλ) уменьшаются с ростом числа обслуживающих аппаратов n. В противоположность этому слагаемое Кn с ростом числа аппаратов увеличивается. Задача состоит, следовательно, в выборе такого значения n, при котором критерий (Э) будет минимален. Такой выбор n обеспечивает минимизацию приведенных затрат,

96

связанных с приобретением и эксплуатацией аппаратов и непроизводительным пребыванием требований в системе обслуживания.

Отметим также, что за счет дополнительных затрат часто имеется возможность уменьшить среднюю длительность обслуживания одного требования Тобс. При этом будет уменьшаться и величина Тсист - среднее время пребывания требования в системе. В этом случае для нахождения оптимального решения в критерий Э следует ввести также указанные дополнительные затраты.

Следующим показателем качества функционирования СМО являют-

ся:

- коэффициент загрузки поста

Кз = λμ/n.

- коэффициент использования аппаратов

Кисп = Ам/n.

4.4.2.Характеристики систем массового обслуживания

1.Системы массового обслуживания с отказами

Пусть имеем n-канальную СМО с отказами, в которую поступает поток требований (автомобилей) на обслуживание с интенсивностью , интенсивность обслуживания одного канала равна . Определим показатели эффективности работы такой системы:

Построим размеченный граф состояний системы (рис. 34), где состояния системы пронумерованы по числу занятых каналов, т. е.

S0 - все каналы свободны;

S1 - занят один канал, остальные свободны;

S2 - заняты два канала, остальные свободны;

…………………………………………….

Sn - заняты все n каналов.

λ λ λ

Рис. 4.27. Размеченный граф состояний

97

По стрелке слева направо систему переводит поток заявок с интенсивностью . По стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний интенсивностью k , где k - число занятых каналов.

Для вычислений предельных вероятностей состояний системы (Рi) запишем систему линейных уравнений. Согласно рис. 27 будем иметь:

Таблица 4.1

….……………………. ………………………………….

………………………. ………………………………….

Рекуррентное выражение для определения вероятности состояния будет равно

Остальные вероятности состояний найдём из выражений табл. 4.1. Зная предельные вероятности состояний Р0, Р1, Р2, …, Рn, вычислим

характеристики работы СМО.

98

S2 - канал занят, одна заявка в очереди;

……………………………………….

Sm+1 - канал занят, m заявок в очереди.

Составим размеченный граф состояний системы (рис. 4.35.)

Рис. 4.28. Размеченный граф состояния

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данного процесса имеет вид:

Добавим к этой системе начальные условия. Например, если при t = 0 система находится в состоянии S0, то начальные условия примут вид:

P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = … = Pm+1(0) = 0.

Проинтегрировав систему (1) при принятых начальных условиях, получим все вероятности состояния как функции времени

P0(t); P1(t); P2(t);… Pm+1(t),

которые в любой момент времени t удовлетворяют условию

i 0

100