3. Статистический анализ случайных погрешностей

При выполнении многократных измерений необходим метод, который позволил бы обрабатывать полученные результаты. Одним из удобных методов является использование распределения. Предельным распределением (при бесконечном количестве измерений) результатов эксперимента являетсяраспределение Гаусса. Однако оно не является единственно возможным.

Вопросу обоснования применимости распределения Гаусса в теории ошибок в литературе уделяется много внимания. Но лучше всего, касаясь этого вопроса, пожалуй, сказал тот, кто сказал «экспериментаторы верят в него, полагаясь на доказательства математиков, а математики – полагаясь на экспериментальное обоснование». И, тем не менее, распределение Гаусса можно в какой-то мере обосновать.

Распределение Гаусса отражает следующие предположения, лежащие в основе теории случайных погрешностей и подтверждаемые опытом:

1. Погрешности результатов измерений принимают непрерывный ряд значений.

2. При большом числе измерений:

- одинаково часто встречаются погрешности одного значения, но разных знаков;

- чем больше погрешность измерения, тем реже это измерение встречается.

Отсюда следует, что распределение Гаусса графически изображается в виде кривой, симметричной относительно истинного значения Хизмеряемой величины, имеющей колоколообразную форму (Рис. 1).

Рис. 2

В теории доказывается, что наилучшей оценкой истинного значения Хизмеряемой физической величины является её среднее значение, рассчитываемое на основе прямых измерений по формуле:

. (3.1)

Проявление случайной погрешности при прямых измерениях определяется путём расчёта статистической погрешности:

. (3.2)

В формулах (3.1) и (3.2): N– количество прямых измерений величиных;х_i– результаты однократных измерений.

4. Погрешности некоторых измерительных приборов

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙКИ

а) Стальные измерительные линейки

Деления нанесены через 1 мм. Погрешность прибора при длине линейки 300 мм, 500 мм и 1000 мм составляет, соответственно,0,10 мм;0,15 мм;0,20 мм. Субъективную погрешностьпри отсчёте «на глаз» следует принимать не менее, чем 0,2 деления.

б) Деревянные и пластмассовые линейки.

За погрешность прибора для деревянных линеек следует принимать0,5 мм, а для пластмассовых –1,0 мм. Субъективную погрешность, как и в предыдущем случае, следует принимать не менее, чем 0,2 деления.

ШТАНГЕНЦИРКУЛИ

Выпускаются различные штангенциркули, пределы измерения которых изменяются от 125 мм до 2500 мм. Основной частью штангенциркуля является нониус – отчетная устройство с дополнительной шкалой, цена деления которой меньше, чем цена деления основной шкалы. Точность штангенциркуля с нониусов равна разности цены деления основной шкалы и цены деления шкалы нониуса. Для штангенциркулей с точностью 0,1 мм погрешность прибора равна0,1 мм, а для штангенциркулей с точностью 0,05 мм=0,05 мм.

МИКРОМЕТРЫ

Микрометры позволяют производить изменения точнее, чем штангенциркули. Цена деления круговой шкалы микрометра равна 0,01 мм. Погрешность прибора для микрометра при измерении размеров до 3 мм не превышает0,002 мм, а при измерении больших размеровне превышает0,004 мм.

ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ

При измерении времени часто используются механические секундомеры с ценой деления 0,1 с или 0,2 с. Погрешность прибора этих секундомеров равна цене их деления. Вместе с этим механические секундомеры обладают ошибкой хода, которая, например, для секундомеров типа С-1, С-2, СМ-60 могут достигать1,5 с за 30 минут хода. Субъективная погрешностьможет достигать0,3 с. В учебных лабораториях также используются электронные счётчики-секундомеры ССЭШ, точность которых составляет 0,01 с. Погрешность приборадля них составляет() с.

НАБОР ГИРЬ

По допускаемой погрешности гири делятся на пять классов точности. Набор гирь, используемых в учебной лаборатории, соответствует четвертому классу точности. В представленной таблице указываются погрешности прибора этих гирь.

Номинальное значение, г	100	50	20	10	5	2	1
Погрешность прибора, мг	±40	±30	±20	±12	±8	±6	±4
Номинальное значение, мг	500	200	100	50	20	10	5
Основная предельная погрешность, мг	±3	±2	±1	±1	±1	±1	±1

ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

У электроизмерительных приборов число qопределяет класс точности прибора. Так, согласно ГОСТ 1845-59, электроизмерительные приборы делятся на восемь классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. Класс точности определяет наибольшую приведённую ошибку для всего рабочего диапазона в процентах. Приборная погрешность определяется соотношением:

, (4.1)

где x– максимальное значение физической величины, измеряемое электроизмерительным прибором. Например, для милливольтметра со шкалой до 50мВ, имеющего класс точности 0,5 абсолютная погрешность не превышает ∆=0,5·50мВ/100=0,5мВ. Полная погрешность измерения должна включать также погрешность отсчёта по шкале.