Задание 2: Интерполяционные многочлены Ньютона
1) Для заданной функции y(x) вычислить ее значения на отрезке [0,4] при xi=i, где i=0,1,2,3,4. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найти значение функции f(x) для заданных х и oценить погрешность полученного результата. Сравнить полученные результаты с точными значениями. Построить в одной системе координат графики функций y=y(x) и y=Р(x).
Образец выполнения задания
Y=0,5xcosx; x1=0,34, x2=3,97.
Составим таблицу значений функции с единичным шагом
|
I |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Y |
0 |
0,270151 |
-0,41615 |
-1,48499 |
-1,30729 |
Так как интерполяционная таблица является равномерной (шаг h=1), то построим таблицу разностей
|
X |
Y |
y |
2y |
3y |
4y |
|
0 |
0,0000000 |
|
|
|
|
|
|
|
0,2701510 |
|
|
|
|
1 |
0,2701510 |
|
-0,956452 |
|
|
|
|
|
-0,686301 |
|
0,5739130 |
|
|
2 |
-0,416150 |
|
-0,382539 |
|
1,0551660 |
|
|
|
-1,068840 |
|
1,6290790 |
|
|
3 |
-1,484990 |
|
1,2465400 |
|
|
|
|
|
0,1777000 |
|
|
|
|
4 |
-1,307290 |
|
|
|
|
Тогда первый интерполяционный многочлен Ньютона будет иметь вид
Так как х1 ближе к х0, то используя полученный многочлен найдем
P4(0,34)= 0,191233, что отличается от точного значения 0,160268 на 0,030964
Аналогично для х2 из второго интерполяционного многочлена
найдем Р4(3,97)= -1,3538088. Отличие от точного значения -1,341959593 составляет -0,0118492
Индивидуальные задания
|
№ |
Функция |
Точки | |
|
x1 |
x2 | ||
|
1 |
Y=1+xcosx |
0,85 |
3,99 |
|
2 |
Y=1+xsinx |
1,34 |
3,06 |
|
3 |
Y=x(2cosx+x) |
0,86 |
3,15 |
|
4 |
Y=2cosx-x |
1,12 |
3,87 |
|
5 |
Y=2cos(x-1)+x-2 |
1,14 |
3,58 |
|
6 |
Y=2sin(x+1)-x+3 |
0,09 |
3,17 |
|
7 |
Y=x(2sin2x+x) |
0,17 |
3,99 |
|
8 |
Y=2xsinx |
0,98 |
3,54 |
|
9 |
Y=2xcosx |
0,73 |
3,68 |
|
10 |
Y=e-xsin2x |
1,17 |
3,66 |
|
11 |
Y=e-xcos2x |
1,43 |
3.91 |
|
12 |
Y=(x+2)sinx |
0,55 |
3,11 |
|
13 |
Y=(x+2)cosx |
0,83 |
3,71 |
|
14 |
Y=(x+1)cosx |
0,59 |
3,93 |
|
15 |
Y=x+2sinx |
0,51 |
3,98 |
|
16 |
Y=2x-sin2x-0.25 |
1,12 |
3,01 |
|
17 |
Y=sin(x+π/3)-0.5x |
1,19 |
3.54 |
|
18 |
Y=(x-2)22x+1 |
0,76 |
3,12 |
|
19 |
Y=x2-20sinx |
0,97 |
2,99 |
|
20 |
Y=0.5x +1-(x-2)2 |
0,11 |
3,89 |
|
21 |
Y=cos(x+0.3)-x2 |
0,13 |
3,77 |
|
22 |
Y=3x-2x-5 |
1,03 |
3,03 |
|
23 |
Y=(x-3)cosx-1 |
1,07 |
3,81 |
|
24 |
Y=2ex-2x-3 |
1,14 |
3,77 |
|
25 |
Y= x2-10sinx |
0,98 |
3,83 |
|
26 |
Y= x2cos2x+1 |
1,05 |
3,84 |
|
27 |
Y=(x-1)2.2x-1 |
1,06 |
3,57 |
|
28 |
Y=2x2-0.5x-3 |
0,96 |
3,76 |
|
29 |
Y= cos(x+0.5)-x3 |
1,16 |
3,61 |
|
30 |
Y=2ex-2x-3 |
1,19 |
3,91 |
Задание 3. Интерполяция сплайнами
Составить сплайн, заданный интерполяционной таблицей.
Образец выполнения задания
Индивидуальные задания
|
№ |
Задания | ||||
|
1 |
x |
2 |
5 |
6 |
8 |
|
f(x) |
1 |
3 |
5 |
6 | |
|
2 |
x |
-1 |
0 |
2 |
4 |
|
f(x) |
0 |
1 |
3 |
4 | |
|
3 |
x |
-4 |
-2 |
1 |
2 |
|
f(x) |
-2 |
-1 |
0 |
2 | |
|
4 |
x |
-3 |
-1 |
0 |
2 |
|
f(x) |
-1 |
1 |
2 |
3 | |
|
5 |
x |
-5 |
-4 |
0 |
1 |
|
f(x) |
1 |
3 |
4 |
6 | |
|
6 |
x |
-2 |
0 |
2 |
3 |
|
f(x) |
-1 |
0 |
2 |
3 | |
|
7 |
x |
0 |
1 |
3 |
5 |
|
f(x) |
2 |
6 |
8 |
9 | |
|
8 |
x |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) |
2 |
-1 |
3 |
4 | |
|
9 |
x |
1 |
2 |
5 |
6 |
|
f(x) |
-2 |
3 |
-1 |
4 | |
|
10 |
x |
-1 |
2 |
3 |
6 |
|
f(x) |
2 |
-3 |
4 |
-1 | |
|
11 |
x |
2 |
4 |
5 |
6 |
|
f(x) |
-4 |
2 |
0 |
-1 | |
|
12 |
x |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
f(x) |
4 |
-3 |
5 |
-1 | |
|
13 |
x |
-1 |
0 |
4 |
8 |
|
f(x) |
3 |
-2 |
5 |
-1 | |
|
14 |
x |
0 |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) |
4 |
-2 |
3 |
-2 | |
|
15 |
x |
-1 |
-2 |
0 |
1 |
|
f(x) |
2 |
-1 |
4 |
-2 | |
|
16 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
2 |
|
f(x) |
2 |
-2 |
3 |
-1 | |
|
17 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.88 |
1.54 |
1.39 |
1.30 | |
|
18 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.11 |
0.74 |
0.56 |
0.44 | |
|
19 |
|
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.57 |
1.21 |
1.11 |
1.05 | |
|
20 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
6.28 |
5.62 |
5.14 |
4.91 | |
|
21 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.05 |
1.21 |
1.57 |
2.42 | |
|
22 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
0.69 |
0.35 |
0.23 |
0.17 | |
|
22 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
0.78 |
0.39 |
0.26 |
0.19 | |
|
23 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.54 |
1.61 |
1.66 |
1.71 | |
|
24 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.10 |
1.05 |
0.97 |
0.79 | |
|
25 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
1.50 |
1.34 |
1.23 |
1.16 | |
|
26 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
7.19 |
6.21 |
5.12 |
3.98 | |
|
27 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
6.87 |
6.41 |
4.42 |
3.91 | |
|
28 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
3.14 |
4.15 |
5.65 |
6.91 | |
|
29 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
11.38 |
12.80 |
14.70 |
17.07 | |
|
30 |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
f(x) |
5.84 |
6.13 |
6.30 |
6.69 | |
