Лекция 1.5. Резонансные свойства электрических цепей синусоидального тока

Мы уже знаем, что алгебраическая форма комплексного сопротивления Zимеет действительнуюRи мнимуюjXчасти

.

Значение действительной и мнимой частей определяются составом и структурой схемы. Для схемы с последовательно включенными R,L, и С элементами реактивное сопротивление

Очевидно, что значение слагаемых зависит от частоты . При малых частотах емкостная составляющая имеет большое значение, а индуктивная - малое. Поэтому реактивное сопротивление схемы Х принимает емкостной характер. При больших частотах Х принимает индуктивный характер. Существует такая частотапри которой

При этой частоте реактивное сопротивление равно нулю, а комплексное сопротивление цепи становится активным. Такой режим выделяют особо и называют резонансным.

При резонансном режиме работы электрической цепи принимают режим, при котором ее сопротивление является чисто активным.

Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

1. Резонанс токов

Резонанс токов возникает в цепи с параллельным включением элементов (рис.5.1). Такая цепь содержит два сложных потенциальных узла, а все элементы находятся под одним и тем же напряжением

(5.1)

Для любого из узлов - 1 или 1’ справедлив первый закон Кирхгофа:

(5.2)

Применяя к (5.2) выражения (1.7) и (1.12) приведем его к виду

(5.3)

Подставим в (5.3) вместо u(t) его значение из (5.1) и решим его

(5.4)

Векторная диаграмма, построенная по (5.4) приведена на рис. 5.2. В качестве исходного в ней принят общий для всех элементов цепи вектор напряжения. С этим вектором совпадает по направлению вектор тока через резистор. Его величина равна

Вектор тока через индуктивностьотстает от вектора напряжения, а вектор тока через емкость опережает его на 90^о. Проведем последовательное сложение векторов. Результатом сложения является векторОн сдвинут по фазе относительно векторана угол. Разность векторовдает вектор реактивного тока. Его величина

(5.5)

Векторы иобразуют треугольник токов. Для этого треугольника справедливы выражения

(5.6)

(5.7)

Треугольник токов наглядно показывает, что для достижения резонанса в цепи необходимо обеспечить равенства противофазных токов и. Тогда результирующий реактивный ток цепии уголбудут равны нулю, а сопротивление цепи станет активным. Из выражения (5.5) видно чтоможет быть равно нулю при соблюдении условия

(5.8)

Отсюда легко определить:

-частоту , на которой наступает резонанс (резонансную частоту) при заданных значениях элементовLи С

; (5.9)

-значение одного из элементов Lили С, если заданы резонансная частотаи другой элемент

. (5.10)

Определим значение тока всей цепи и токов, протекающих в ее ветвях в режиме резонанса.

Действующее значение тока всей цепи на частотелегко найти по (5.6)

(5.11)

Но это значение равно току, протекающему через активное сопротивление цепи т.е.

(5.12)

Ток, протекающий через элемент Lопределим по закону Ома

. (5.13)

Подставляя в (5.13) вместо Uего значение из (5.11) получим

(5.14)

Аналогично определяем выражение для тока через элемент

(5.15)

Принимая во внимание (5.8) нетрудно сделать вывод о том, что токи протекающие через индуктивный и емкостной элементы равны по величине, но противоположны по фазе. Величина Qравная

(5.16)

может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью.

Еще раз подчеркнем замечательную особенность цепи в режиме резонанса. Токи протекающие в ветвях реактивных элементов могут принимать значения в десятки и сотни раз больше общего тока цепи. Поэтому резонанс цепи называют резонансом токов. Очень важно и то, что они противофазны. Именно это указывает на то, что в цепи происходит колебательный процесс с частотой по передаче электрической энергии конденсатора в магнитную энергию индуктивности и наоборот. Энергия источника на этот процесс не затрачивается (при идеальныхLи С). Она расходуется только на преодоление сопротивления резистораR. Поэтому цепь рис.5.1. называют параллельным колебательным контуром.

Чтобы завершить анализ цепи рассмотрим зависимость ее токов и напряжения от частоты (рис.5.4). Ток, протекающий через элемент R-i_R определяется законом Ома и не зависит от частоты. Ток через емкостьi_c согласно (5.15) прямопропорционален частоте, а ток через индуктивностьi_L-обратнопропорционален. На частотеони равны по величине, но противоположны по направлению. Общий ток цепи определяется суммой трех токов. Поэтому он имеет большое значение на частотах, дальних от резонансной, но принимает значениеi_Rна резонансной частоте. Физически это означает что на резонансной частоте проводимость цепи минимальна (она равна проводимости только элементаR). Поэтому падение напряжения между узлами 1-1’ максимально на частотеи имеет вид резонансной прямой. В силу этих качеств параллельный колебательный контур широко применяют в радио и радиотехнических устройствах для выделения сигналов на заданной частоте.