uchebnik10

ласуются с эмпирическими значениями функции, что более на· 'лядно иллюстрирует рис. 35. Заметим, что в других подобных ~лучаях для выравнивания рядов регрессии более подходящими

югут быть уравнения гиперболы второго и третьего порядков с

'ремя неизвестными, т. е.

ух=а+Ьх+с/х2; ух=а+Ьх+с/хЗ и т. Д.

Регрессия, выражаемая уравнением показательного типа. J тех случаях, когда основная тенденция эмпирического ряда ре·

'оессии следует или оказывается близкой закону геометрической

I

,3

-1 ::.:::.:::.::::.:=~~"'-----

Рис. 35. Зависимость между числом иаблюдеиий n и величииой

ошибки s- средиего результата z

х

rрогрессии, его удается описать уравнением эксnoненциального,

IЛИ noказательного, типа:

1спользование уравнений такого вида связано с их логарифми·

юванием, что позволяет трансформировать их в уравнение пря·

.!ой линии. Так, в данном случае

19y=lga+xlgb. (199)

Логарифмическое преобразование исходного уравнения ре­

'рессии не только облегчает вычисление параметров а и Ь, но и

~лужит своего рода контролем того, насколько правильно выбра.

'10 применяемое уравнение. В частности, условием правильного

-шбора уравнения показательного типа служит требование, что· lbI точки Х И 19 У в системе прямоугольных координат находились

Ja одной прямой.

LLля определения параметров уравнения (199) слу)Кит сл~

дующая система нормальных уравнений:

n 19a+lgb ~x=~ 19 у;'

19a !x-t-lg ь ~X2=.I (х19 у).

Совместное решение этой системы приводит к следующим фОI'

мулам:

19a= ~ [~lgy~x2-!(xlgy)~x];

19 Ь= ~ [n ~ (х19 у) -.I х~19 у] ,

где D= n~x2- (~x) 2; n - число членов ряда; у - значения чл~

нов ряда зависимой переменной У; х-зиачения членов ряд~ независимой переменной Х, которые обычно выражают, как и 1.

предыдущем случае, числами иатурального ряда.

Таблица 12~

Возраст

животных

для отыскания параметров а и Ь ну)Кно предварительно найп

~x, ~x2, ~lgy и ~(xlgy).

Прuмер 18. Наблюдения за развитием самцов павианов-,Г&

мадрилов в период полового созревания показали, что масса и;

тела изменяется с возрастом следующим обраЗ0М:

290

Графический аиализ этих даиных показывает, что оии изме­

!яются по закону экспоненциальиой функции. Об этом свидетель­

'твует тот факт, что значения иезависимой перемениой Х и лога­ lифмированные значения зависимой переменной У располагают­

~я в системе прямоугольных координат на одной прямой. Найдем

'мпирическое уравнение, описывающее эту закономерность. lредварительно рассчитаем вспомогательные величины

табл. 129).

'ие. 36. Эмпирическая и вычислеииая по уравиению показательиоА

DУНКЦИИ линии регрессии возрастных изменеиий массы тела самцов

гамадрилов в период полового созревания

lодставляя известные величииы в формулы, находим

JТсюда эмпирическое уравнение регрессии У по Х:

Ig Ух=0,061х+О,575.

Подставляя в это уравнение вместо х значения независимой

!еременной, выраженные числами натурального ряда, находим

!ем столбце табл. 129. Они неплохо согласуются с помещенными ) той же таблице эмпирическими членами ряда. Более наглядное Iредставление об этом дает рис. 36, иа котором изображены эм-

291

пирическая и выровненная по уравнению регрессия лннин массы

тела У по возрасту Х самцов павианов-гамадрилов.

Регрессия, выражаемая уравнением степенного типа. Зависи­

мость между переменными величинами У и Х иногда хорошо опи­ сывается уравнением степеннОго типа

Условием правильного применения этого уравнения служит тре­

бование, чтобы точки 19 у и Ig х в системе прямоугольных коор­

динат находились на одной прямой. Эта особенность отличает

уравнение степенной функцин от уравнения регрессни показа­

тельного типа, когда в системе координат на одной прямой ока­

зываются точки 19 у и х.

Для определения параметров а и Ь уравнения степенного ти­

па служит следующая система нормальных уравнений

n Iga+b ~ Igx= ~ Ig у;

Iga ~ Ig х+Ь ~(Ig х)2=~(lg Х Ig у).

И3 решения этой системы получаются формулы

19a=-h-[]lgу~(lgХ)2-~(1gхlgу) ~lgx] и

Ь= ~ [n ~(lg х19 у)- ~Ig' х! Ig у] ,

где D=n~(Igх)2-(~lgх)2-0пределитель системы; n-число

членов ряда регрессии; х н у - значения членов ряда независи­

мой и зависимой переменных величин. И3 этих формул следует,

что для нахождения параметров а и Ь нужно предварительно

рассчитать ~ Ig у, ~ (Ig у, Ig х), ~ Ig х и ~ (Ig х)2.

Пример 19. Наблюдения за развитием самок павианов-гамад­

рилов показали, что между массой их тела и длиной туловнща существует положительная связь. Соответствующие данные и их

обработка приведены в табл. 130.

Если эти данные изобразить в виде графика, как показано на

рис. 37, можно убедиться в том, что между этими признаками

имеет место нелинейная связь. Прологарифмировав значения пе­

ременных х и у и выразив полученные величины в процентах от

их общей суммы для каждого ряда в отдельности, легко постро­

ить линейный график, показывающий, что точки 19 У и 19 х рас­

полагаются на одной прямой (рис. 38). Следовательно, зависи-

292

Таблица 130

,юсть между этими признаками можно выразить уравнением

:тепенного типа. Найдем эмпирическое уравнеиие этой зависимо­

)тсюда эмпирическое уравнение массы тела у по длине тулови­

ца х самок гамадрилов имеет следующий вид:

293

Подставляя в это уравнение вместо х конкретные данные о длине

туловища самок гамадрилов, можно определить возможную мас­

су их тела, соответствующую известной длине туловища. Напри­ мер, длине туловища самки гамадрила, равной 28 см, должна соответствовать следующая масса ее тела: 19 Ух= 2,581g 28 -

-3,023=2,58·1,44716-3,023=0,711, или ух=5,0 кг. Рассчитанные

таким образом ожидаемые величины массы тела Ух самок гамад­

рилов, соответствующие размерам туловища этих животных,

приведены в последней графе табл. 130. Видно, что они неплохо

согласуются с эмпирически найденными значениями этого ряда.

Прu.мер 20. По данным А. д. Слонима и О. П. Щербаковой (1949), величина основного обмена обезьян, выраженная в ки­

лоджоулях на 1 кг массы тела за 24 ч, изменяется с возрастом

следующим образом (табл. 131).

Как и в предыдущем случае, зависимость между этими при­

знаками можио описать уравнением степенного типа. Основани­

ем для этого служит тот факт, что точки 19 х и 19 У располагают­

ся в системе прямоугольных координат на одной прямой (чита­

тель может это проверить). Найдем эмпирическое уравнение регрессии величины основиого обмена у по возрасту обезьян х.

Предварительно рассчитываем вспомогательные величины. Рас-

чет приведен в табл. 131. Подставляя найденные величины в

формулы, определяем параметры:

1 а= 76.340.65·11,85338-26,63998·10.,33390. =3145'

294

)тсюда эмпирическое уравнение регрессии основного обмена У

ю возрасту Х обезьян:

Ig ух=3,145 - O,494lg х.

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые величины ос­ JOBHOfO обмена в зависимости от возраста обезьян приведены в

юследней графе табл. 131. Видно, что они хорошо согласуются

..fежду собой, что более наглядно показано на рис. 39, где изо­

JDажены эмпирическая и выровненная линии регрессии У по Х.

'ис. 39. Эмпирическаи н вычислениая по уравие­ lию степеииой функции кривые возрастных изме­ неиий осиовного обмена у обезьян

'егрессия, выражаемая уравнением логистической кривой.

~начительный интерес для биолога представляет логuстuческая

:ависим,ость между переменными величинами. Зависимость тако­

'О рода встречается во многих случаях, например при изменении

'остава популяции в замкнутой среде Обитания, когда начальное

'исло особей сначала быстро возрастает, затем темп роста попу­

;яции также быстро снижается и популяция переходит в состоя­ rие динамического равновесия. Графически эта закономерность

!30бражается в виде S·образноЙ кривой, которая описывается -,равнением Ферхюльста:

'де у - учитываемый признак; t - время, прошедшее от началь­

ЮЙ, или базисной (с), величины признака, с которой начато его

!змерение, до предельной в данных условиях величины N, кото­

-ой он доСтиг за время '; а и Ь - параметры уравнения, опреде-

1Яющие характер логистической кривой.

295

Путем логарифмического преобразования это уравнеиие пр}:,

обретает следующее выражение:

Определению параметров а и Ь этого уравнения удовлетворяе~ следующая система нормальных уравнений:

аn+Ь ~t=~lgz;

а ~t+b !t2 = ~(tlgz).

Решая эту систему относительно параметров а и Ь, получаем слt-­

дующие формулы:

а= ~ [~lgz~t2_~! ~(tlgZ)] ;

Ь= ~ [n ~(tlgz)-~t ~lgz].

где D==n!,t2- (~t)2.

Из этих формул следует, что для получения эмпирическог(

уравнеиия логистической зависимости между переменными t и 1

необходимо предварительно рассчитать ~t, ~t2, ~ 19 z и ~ (t 19 Z I Затем, определив параметры а и Ь, найти для каждого значеНИf

t (в пределах учитываемого промежутка времени) величины 19:

u _

и Z, что и приведет к нахождению ожидаемых значении уе.

296

Прuмер 21. На протяжении семи суток проводили наблюде~

шя над ростом численности особей инфузории туфельки в замк~

IУТОЙ среде обитания (аквариуме). Результаты опыта и их об~

Jаботка приведены в табл. 132.

Наблюдения начаты с помещения в аквариум пяти особей TY~

Dельки. К концу первых суток их численность увеличилась в 4 Jаза, затем в 5 раз и т. д.

Принимая с=О и N=390, составляем систему нормальных

'равнений:

6а+21Ь= - 3,2016;

21a+9Ib= -22,3627.

>тсюда эмпирическое уравнение, выражающее закономерность

юста численности особей популяции туфельки в замкнутой cp~

~e обитания, оказывается следующим:

390

Yt = 1 + 101,698-0,6381 •

Это уравнение позволяет определять ожидаемую численность

Iсобей туфельки yt в любой момент ее развития в замкнутой cp~ ie обитания. Для простоты следует логарифмировать уравнение

297

При сопоставлении эмпирически полученных величин Уl с вь.!­

численными fit видно, что они неплохо согласуются между собои.

Более наглядно об этом свидетельствует рис. 40, на котором на

фоне ломаной эмпирической кривой изображеиа плавно идущая

кривая ожидаемых значений fit переменной У 1.

IХ.З. ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ ПОКА3АТЕnЕА РЕГРЕССИИ

Выборочные показатели регрессии являются оценками СОО'!:­

ветствующих генеральных параметров и, как величины случаи­

ные, сопровождаются статистическими ошибками. Ошибку выбо­

достоверность выборочных коэффициентов регрессии оцени­

вают с помощью t-критерия Стьюдента. Нулевую гипотезу отвер­

гают на принятом уровне значимости (а) С числом степеней сво­

боды k=n-2, если tф~tst.

Прuмер 22. В гл. УIII было установлено, что между массой те­

ла новорожденных гамадрилов Уl и массой тела их матерей х су­ ществует поЛожительная связь (гху = 0,564). Уравнение регрес­

сии, описывающее эту связь, следующее:

ух=о,42+0,О24х.

Определим ошибку коэффициента регрессии ьух=0,о24 и оценим

достоверность этого показателя. Необходимые данные содержат­

I Более подробно этот способ описан в книге Н. А. Плохииского «Бно­

метрня» (970). Там же приведеиы способы выравиивания других видов нелинеiiиоii регрессии, в частности регрессии периодического типа. ,

298