uchebnik10

Для определения параметров этого уравнения используют сле­

дующую систему нормальных уравнений:

па+Ь ~ х+с ~ x 2 +d ~ х2 = ~ У;

а~ х+Ь ~ х2 +С ~ х3 +d ~ х4 = ~ ху;

а~ х2 +Ь ~ х3 +С ~ х4 +d ~ х5 = ~ ух2;

а~x3+b ~x4+c ~ x 5 +d ~x6-~yx3.

Решение этой системы относительно параметров а, Ь, с и d при­

водит К следующим формулам:

a=-1(~y~x4_~x2 ~yx2);

D 1

переменных, из которых независимая переменная выражается

отклонениями членов ряда от их средней величины

Для нахождения параметров а, Ь, с и d нужно предвари­ тельно рассчитать '1:.у, '1:.УХ, '1:.х2 , '1:.х2у, '1:.Х3У, '1:.х4 И '1:.х6.

Пример 13. В отношении некоторого объекта было прове­

дено девять испытаний, которые дали следующие ре.1ультаты:

В данном случае с увеличением независимой переменной Х

зависимая переменная У закономерно убывает, т. е. ведет се­

бя не так, как это имело место в отношении кривой лактации.

Для нахождения выравнивающих значений этого ряда урав­

нение параболы второго порядка не подходит, в чем легко убе­

диться, проделав необходимую вычислительную работу. Приме­

ним к отысканию эмпирического уравнения регрессии этого ря­

да параболу третьего порядка. Предварительно, чтобы облег­ чить вычислительную работу, уменьшим каждый член ряда за­

висимой переменной у на К==68, т. е. заменим значения у на

у*=у-68.

Средняя арифметическая для членов ряда независимой пе­ ременной Х=9. Отклонения от этой величины и расчет необхо­

димых вспомогательных сумм приведены в табл. 124.

279

Находим значения определителей: D1==9·708--602 ==2772 F

D 2 ==60·9780-7082 ==85 536-501264=85 536. Переходим к BЬt

числению параметров; при этом параметр а надо увеличить Не

К=68. При вычислении параметров Ь, с и d поправки не нуж­

ны:

Отсюда эмпирическое уравнение регрессии У по Х:

Ух=70,895 -- 1,274х+ о, 169х2 +О,0105х3•

Подставляя в это уравнение вместо х отклонения членов ряд...

независимой переменной Х от их средней арифметической :: находим ожидаемые (выравнивающие) значения зависимой пt-·

ременной Ух,: УХ1= 70,895 - 1,274(-4) + О,169(16),

+ 0,0105( - 64) = 70,895 + 5,096 + 2,704 - 0,672 = 78,0; Ух, = =70,895-1,274 (-3)+0,169 (9) +0,0105(--27) =70,895+3,822 -т +1,521-0,2835=76,0 и т. д.

Рассчитанные таким образом выравнивающие значения у.о

приведены в последнем столбце табл. 124. Видно, что они н€-·

плохо согласуются с эмпирически найденными члеиами ряд...

280.

:аВИСИМQЙ переменной У. о чем более иаглядно свидетельству­

'т рис. 31.

Как и в предыдущем случае, параметры а, Ь, с и d парабо­

ibl третьего порядка можно корректировать, применяя для это­

о следующие формулы:

.Iрименительно к рассматриваемому примеру (учитывая, что

',=1) это выглядит так: aO=70,895+(-1,274) (9)+0,169(92)-

3начеН/JЯ неэаВIIСlIмоii переменной

·не. 31. Эмпирическая и вычисленная по уравнеиию па­ раболы третьего порядка линни регрессии У по Х

-J,0105(93) =88,396; ЬО=-1,274-2· 0,169 (9) +3· 0,0105(92) =

=-1,764; cO=O,169-3· 0,0105(9) =-0,1145; ~=0,0105. Отсю­

;.а эмпирическое уравнение регрессии У по Х:

ух=88,396 - 1,764х - О, 1145х2 +О,0105хЗ•

,ядка. В зависимости от наклона кривой регрессии к осям пря­

.!Оугольных координат корреляционная зависимость между :ае-

281

ременными величинами может быть выражена тем или ины!v.

уравнением гиперболы. В простейшем виде гиперболическая за

висимость между переменными У и Х описывается уравнениеА

гиперболы первого порядка:

-ух=а+ -ь . (194

х

Для определения параметров а и Ь этого уравнения служи~

следующая система нормальных уравнений:

аn+Ь ~+=~y;

Таблица 12:'

Совместное решение этой системы относительно параметров l

и Ь приводит К следующим формулам:

a=i (~ у~ 7z - ~ ~ ~ -;-) ;

Ь=~ (n ~ ~ - ~ у ~ +),

где D=n ~ ~2 - (~ ~ у- определитель системы; х- ЗНе

чения независимой; у - значения зависимой переменных велl-o

чин; n - число членов ряда регрессии. Для нахождения парi:l"

метров а и Ь ПО этим формулам необходимо предварительнt

рассчитать !'у, !'у/х, 1i l/х и !, 1/х2 •

Пример 14. Зависимость основного обмена у, выражеННОГl

в килоджоулях на 1 кг массы тела обезьян за 24 ч, xapaKTepF.

зуется следующими величинами (табл. 125).

282

Если эти данные изобразить графически в системе прямо­

угольных координат, можио убедиться в том, что они выглядят в виде гиперболической зависимости между переменными У и

Х. Необходимые суммы для вычисления параметров а и Ь по

уравнению (194) содержатся в табл. 125. Подставляя эти дан­ ные в формулы, находим:

Отсюда уравнение регрессии У по Х: Ух= 170+698/х.

Рассчитанные по этому уравне-

Для определения параметров а и Ь этого уравнения служит

следующая система нормальных уравнеиий:

an+b!~=!y;

Решение этой системы относительно параметров а и Ь приводит

К следующим формулам:

а=_1(,",у ~_I _ ~L ~_I);

D ~ ""'" х4 ~ х2 ""'" х2

283

ь=1-(n ~L_ ~у ~.J....),

D .. х2 ~.~ х2

где D=n,! ~~ -(~ ~2 У .

Для определения параметров а и Ь необходимо предваритель

озимой пшеницы с себестоимостью 1 ц зериа этой культурь..

Полученные результаты и их обработка приведены в табл. 12t

вэтой таблице через Х обозиачен урожай пшеницы (ц/га)

вразных хозяйствах района, а через у - себестоимость 1 с пшеницы (руб.). Чтобы облегчить вычисление вспомогательны;­ величин, значения независимой переменной Х сокращены н<.

К=8, получениые результаты помещены во второй графе (х табл. 126. Используя суммы из табл. 126, находим значеНИf

определителей системы: D = 7 ·1,4784 - (2,386)2 = 10,3488-

-5,6930=4,6558; А=50,6·1,4784-21,80·2,3860=22,7922; В=

==7·21,80-50,6·2,3860=31,8684. Отсюда a=A/D=22,77/4,65= ==4,895; b=B/D=31,868/4,656=6,8445. Эмпирическое ypaBH~­

ние гиперболы второго порядка оказывается следующим:

-ух=4,9+ 6,8х2 .

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые зиачения заВИСF

мой переменной Уж приведены в последнем столбце табл. 12t

Видно, что они неплохо согласуются с эмпирическими значе·

ниями признака у. Более наглядно это показано на рис. 33, ГДt

изображены эмпирическая и выровненная по уравнению гнпеr·· болы второго порядка линии регрессии.

284

Регрессия, выражаемая уравнением гиперболы третьего по­

Iядка. В практике встречаются случаи, когда с увеличением не­

:ависимой переменной Х зависимая переменная У, быстро убы­

Jая, вскоре стабилизируется на определенном уровне, прини­ ,zая более или менее постоянные значения. В таких ситуациях

(ля выравнивания эмпирического ряда регрессии можно ис­

lользовать уравнение гиперболы третьего порядка:

-

~

~ 9

7

5

'ис. 33. Зависимость между себестоимостью пшеиицы и

урожаем этой культуры

J,ля определения параметров а и Ь этого уравнения применяют

:ледующую систему нормальных уравнений:

аnтЬ~ ~3 = ~y;

а ~-х'3 +Ь .~-;;..-х'6 =.JLх3

Решая совместно эти уравнения относительно параметров а r Ь, получаем следующие формулы:

Ь= ~ (n ~ :3 -~у ~+З) ,

285

Из данных табл, 127 видно, что после резкого снижения чис­

ловых значений зависимой переменной у они постепенно стаби­ лизируются, оставаясь примерно на одном уровне. Найдем эмпи­

рическое уравнение этой регрессии: D=8·1,01732-1,1951 2 =

=8,1386.-1,4283= 6,710; А = (50,8· 1,01732-29,963· 1,1951) /6,710= = 15,871/6,710 = 2,37; В = (8 ·29,963 - 50,8·1,1951)/6,710 =

Испытание этого уравнения показало, что оно не удовлетворяет равенству !'Y=~Yx; корректируя его, находим точное уравнение

регрессии У по Х:

-Ух= 26,4х3 +2,40.

u

неплохо согласуются с эмпирическими значениями переменнои

У. Более наглядное представление об этом дает рис. 34.

Регрессия, выражаемая уравиеиием гиперболы первого по· рядка с тремя неизвестными: а, Ь и с. Если с увеличением неза­

висимой переменной Х зависимая переменная У быстро убывает,

286

\остигая некоторого предела, за которым обнаруживается более

{ли менее стабильное течение функции, то для выравнивания эм­ ~IИрических значений зависимой переменной может быть исполь­ ;овано уравнение гиперболы следующего вида:

y=a+bx+~.. (197)

х

J,ля определения параметров а, Ь и с этого уравнения служит

'ледующая система нормальных уравнений:

аn+Ь~x+c~-;-=~y;

а~x+ Ь ~x2+an=~xy;

а~1-+ bn -tc ",-1 = ~-!L ..

~ х ~ х2 ~ х

fтобы ПО выборочным данным составить такую систему, необхо­

7ример 17. Как показади мНогочисленные наблюдения, с уве­

.ичением числа н~зависимых испытаний (n) величина ошибки

~peДHeгo результата Sj: закономерно уменьшается:

287

Эта связь между переменными n и S~ имеет гиперболическю

характер и может быть описана с помощью уравнеиия (197. Найдем эмпирическое уравнение этой связи. Чтобы облегчит"

вычислительную работу, обозначим перемеииые n и Sx соответс'Т·

венно через Х и У и сократим значения независимой переменноi

Составляем систему нормальных уравнений: 9а+45Ь+2,83с= 17,6;

45а+285Ь -j- 9с = 59,0;

2,83а+9Ь+ 1,54с=9,412.

Решая эту систему относительно параметров а, Ь и с (как опис!:' но выше), находим: а=-0,571; Ь = 0,0871; с=6,6496. Отсюда э~1

пирическое уравнение регрессии У по Х:

Ух= -0,571 +0,0871Х+ 6,6496 •

х

Подставляя в это уравнение вместо х преобразованные значенш:

аргумента, находим:

Ух= - 0,571тО,0871·1 +6,6496/1 =6,2;

Ух= -0,571+0,0871.2+6,6496/2=2,9 и т. д.

Рассчитанные таким образом значения Ух зависимой перемеР­

ной у приведены в последнем столбце табл. 128. Они хорошо Cl"

28&