uchebnik10

Учитывая двусторонний характер связи между переменными У

и Х, формулу для определения параметра а следует выразить

так:

или ( 182]

Параметр ь) или коэффициент регрессии, определяют по сле­

дующим формулам:

Прuмер 2. В табл. 96 содержатся данные о корреляционной

зависимости между массой тела гамадрилов-матерей Х и мас­

сой тела их новорожденных детенышей У. Воспользуемся эти­ ми данными и найдем эмпирическое уравнение регрессии У по

Х. Здесь аргументом, или независимой переменной, служит мас­

са тела матерей, а зависимой переменной - масса тела ново­

рожденных детенышей. В табл. 96 приведены нужные значения: n=20; ~y= 14,06; ~x=237,4; ~xy= 167,919 и ~x2=2861,60. Оп­

ределим параметры линейной регрессии У по Х:

Отсюда эмпирическое уравнение регрессии массы тела детены-

следующим: Ух=0,42+0,о24Х.

Это означает, во-первых, что с увеличением массы тела ма­ терей-гамадрилов на 1 кг масса тела новорожденных детены­

шей увеличивается в среднем на 0,024 кг. Во-вторых, подстав­

ляя в это уравнение вместо Х конкретные значения, т. е. массу

тела гамадрилов-матерей, можно определить вероятную (сред­

нюю) массу новорожденных детенышей. Так, если масса тела

1 Формулы (183) прнменимы лншь для определения свободного члена а

линейной регресснн. Прн налнчнн нелннейной регресснн этн формулы прнме­

нять нельзя,

самки гамадрила равна 12 кг, то ожидаемая масса тела ново­

рожденного детеныша будет следующей: Ух=О,42+0,024·12=

=0,71 кг. Для самки с массой тела в 14 кг ожидаемая масса тела новорожденного детеныша будет составлять ух=О,42+

+0,024·14=0,76 кг и т. д.

Построение эмпирических рядов регрессии. При наличии

большого числа наблюдений регрессионный анализ начинается с

построения эмпиричесl<'ИХ ряпов регрессии. Э.'rtnuрuческиЙ ряд ре­ грессии образуется путем вычисления по значениям одного варь­ ирующего признака Х средних значений ух другого, связанного

корреляционно с Х признака У. Иными словами, построение

эмпирических рядов регрессии сводится к нахождению группо-

У и Х. Рассмотрим технику построения рядов регрессии на со­

ответствующем примере.

Пример 3. На численно большой группе мужчин (n=727)

изучали корреляцию между длиной тела и обхватом груди.

Собранные данные (по А. А. Малиновскому, 1948) сгруппиро­

ваны в виде корреляционной табл. 116. Эллипсоидный характер

распределения частот ')(II по ячейкам корреляционной решетки

связи между этими признаками. В нижней строке этой табли­

цы помещен ряд регрессии роста мужчин Х по обхвату их гру­

дИ У, а в правом крайнем столбце той же таблицы содержится

эмпирический ряд регрессии обхвата груди У по росту мужчин.

Эти ряды есть не что иное, как групповые средние Ху и Ух, вы­

численные для каждого столбца и каждой строки корреляцион­ ной таблицы. Так, величина ух=81,5, что находится внизу по­ следнего столбца табл. 116, получена следующим образом:

- _1.77,5 + 1.85,5_815

Ух- 2 - , •

Стоящая над ней величина ух=82,0 вычислена аналогичным

способом: yx=I.79,5 + 1.~I,5 +2·83,5 3~8 =82,0. Так же рас-

считаны и групповые средние роста мужчин по обхвату их гру­

ди, помещенные в нижней строке табл. 116. Например, величи­

1·154,5+1·156,5+1·158,5+2·162,5+1·164,5)=158,0 и т. д.

Из табл. 116 видно, что эмпирический ряд регрессии - эт() двойной ряд чисел, которые можно изобразить точками на плос­

кости, а затем, соединив Эти точки отрезками прямой, полу­

чить эмпирическую линию регрессии. Эмпирические ряды рег­

рессии, особенно их графики, называемые ли/i,иями регрессии,

261

дают наглядное представление о форме и тесноте корреляцион­

ной зависимости между варьирующими признаками. На рис. 27 изображены эмпирические и выровненные по уравнению (177)

линии регрессии окружности груди у ПО росту х и роста по ок­

ружности груди мужчин. Видно, ЧТО они неплохо согласуются между собой.

...Е::,

'":х:: 85

'"~

t:::..

~ 81

77

Рост. ['/1

Рис. 27. Эмпирические и вычисленные по способу наименьших

квадратов линии регрессии окружности груди мужчин У ПО

росту Х и роста по окружности груди

Прuмер 4. Выше было найдено (пример 1), что между го­

довым удоем У и массой тела Х коров горбатовской породы существует положительная связь. Рассчитав усредненные зна­ чения УХ и Ху эмпирических рядов регрессии У по Х и Х по У,

можно построить график аналогично тому, как это показано в

примере 3. Значения УХ и Ху содержатся в табл. 102. На осно­

вании этих данных построена эмпирическая (ломаная) линия

регрессии. Наглядное представление о ней дает рис. 28, на ко­

тором наряду с эмпирической изображена и выровненная (плав­

но идущая) линия регрессии. Последняя рассчитана по урав­ нению Ух= 4,934у+51 0,98. Читателю предлагается рассчитать

это уравнение, используя предварительно найденные величины:

Тху=0,523; sx=3,27; sy=2,843; лх= 14; Лу= 152.

Выравнивание эмпирических рядов регрессии. Графики эм­

пирических рядов регрессии оказываются, как правило, не плав­

но идущими, а ломаными линиями (см. рис. 27 и 28). Это объ­

ясняется тем, что наряду с главными причинами, определяющи­

ми общую закономерность в изменчивости коррелируемых приз­

наков, на их величине сказывается влияние многочисленных

262

второстепенных причин, вызывающих случайные колебания У3-

ловых точек регрессии. Чтобы выявить основную тенденцию

(тренд) сопряженной вариацни коррелируемых признаков,

нужно заменить ломаные линии на гладкие, плавно идущие ли­

нии регрессии. Процесс замены ломаных линий на плавно иду­ щие называют выравниванием эмпирических рядов и линий

регрессии.

Г раф и ч е с к и й с п о с о б вы Р а в н и в а н и я. Это наибо­

лее простой способ, не требующий вычислительной работы. Его

дима более высокая точность при замене ломаных линий регрес­

сии на плавно идущие, используют другие способы выравнивания

эмпирических рядов.

С п о с о б с к о л ь 3 Я щей с р е д н е й. Суть этого способа

сводится к последовательиому вычислению средних арифмети­

ческих И3 двух или трех соседних членов эмпирического ряда.

Этот способ особенно удобен в тех случаях, когда эмпириче­ ский ряд представлен большим числом членов, так что потеря двух И3 них - крайних, что неизбежно при этом способе вырав­

нивания, заметно не отразится на его структуре.

Пример 5. Изучали зависимость между содержанием жира

и массой зерен у овса. Результаты приведены ниже:

I(лассы по

содержанию

263

Чтобы выровнять этот ряд, находим сумму первых двух

членов: 45,0+45,8=90,8. Затем определяем сумму следующих

двух членов: 45,8+44,3=90,1; 44,3+41,9=86,2 и так до конца

ряда. Затем каждую полученную таким образом сумму делим

на число слагаемых, в данном случае на два, и находим ус­

редненные значения членов ряда: 45,4 45,0 43,1 41,0 39,6 38,2 37,5. Получился выровненный ряд, более наглядно свидетель­

ствующий о наличии отрицательной корреляции между этими

признаками.

Разумеется, в разных случаях способ скользящей средней

применяют по-разному, вычисляя средние не из двух или трех,

но и большего числа членов ряда.

М е т о Д н а и м е н ь ш и х к в а Д р а т о в. Этот способ пред­

JIOжен в начале XIX столетия А. М. Лежандром инезависимо От него к:. Гауссом. Он позволяет наиболее точно выравнивать эмпирические ряды. Этот метод, как было показано выше, ос­

нован на предположении, что сумма квадратов отклонений ва­

риант Xi от их средней i есть величина минимальная, т. е. n

}: (Xi - x)2=min. Отсюда и название метода, который приме-

1-1

няют не только в биологии, но и в технике. Метод наименьших

квадратов объективен и универсален, его применяют в самых

различных случаях при отыскании эмпирических уравнений ря­

дов регрессии и определении их параметров.

Требование метода наименьших квадратов заключается в

том, что теоретические точки линии регрессии ух' должны быть получены таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений от этих точек для эмпирических наблюдений Yi была минималь­ ной, т. е.

Q = ~ (YI_Yx)2 = ~ (YI- j(X»2=Qmln'

Вычисляя в соответствии с принципами математического

анализа минимум этого выражения и определенным образом

преобразуя его, можно получить систему так называемых нор­

маЛЬНblХ уравнений, в кОторых неизвестными величинами ока­

зываются искомые параметры уравнения регрессии, а извест­

ные коэффициенты определяются эмпирическими величинами признаков, обычно суммами их значений и их перекрестных

произведений. В частности, такая система нормальных урав­

нений, полученная для прямолинейного уравнения регрессии,

приведена выше, в разд. IX.l.

Сущность метода практически уже раскрыта на конкретных

примерах, которые рассмотрены выше - при отыскании пара­

метров а и Ь линейной регрессии. При этом расчет параметров

264

производили непосредственно по значениям варьирующих приз·

наков У и Х (малые выборки).

Теперь следует выяснить, как применяется этот метод к вы·

боркам, группируемым в вариационные ряды и корреляционные

таблицы (большие выборки). Начнем с отыскания эмпириче·

ских уравнений регрессии обхвата груди У ПО росту Х и роста

по обхвату груди мужчин. Чтобы решить эту задачу, неОбходи­

мо предварительно рассчитать средние арифметические g и х, средние квадратические отклонения Sy и Sx и вычислить коэф­

фициент корреляции Гху между этими признаками. Читателю

предлагается (по примеру расчета Гху между массой тела и го­ ДОВ~IМ удоем коров горбатовской породы) вычислить эти вели·

чины, которые оказались равными у=85,17; х= 164,62; Sy=

=2,02; sx=2,73 и Гху=О,391.

Переходим к определению параметров регрессии обхвата

груди у по росту Х и роста по обхвату груди мужчин. Так как

лу=лх=2, то эти величины можно не учитывать при определе­

нии параметров Ьух и Ьху [см. формулу (178)]:

Отсюда эмпирическое уравнение регрессии обхвата груди по

росту ух=О,289х+37,59, а эмпирическое уравнение роста по

обхвату груди Ху=О,528у+119,65.

Сумма членов ряда ух' регрессии, рассчитанных по корре­

ляционному уравнению, должна быть равна сумме членов эм­

пирического ряда, т. е. J:.Yx=J:.Yx'. Если окажется, чтО J:.Yx' =f= =l=J:.Yx или' J:.xy'=f=J:.xy (как следствие приближенных вычисле·

ний параметров), нужно эмпирические уравнения регрессии

скорректировать так, чтобы указанные равенства осуществля­

лись. В данном случае этому условию удовлетворяют уравне­

ния ух=О,289х+37,5 и Ху=О,528у+ 119,1. Рассчитанные по

этим уравнениям значения ух и Ху изображены в виде плавно

клонений членов ряда От их средних:

265

Система нормальных уравнений в этом случае будет выглядеть

так:

аn+Ь ~ (Xt- x)= ~ (Yt-Y) ;

а ~(xt-x)+b !(Xi-Х)2=~(Уt-У)(Хt-Х).

Так как ~ (Yi-g) =0 И ~ (Xi-X) =0, то параметр определяют по формуле (187), а параметр а легко найти по формуле (183).

Если средние ij и Х перенести в правую часть уравнения

(187), то получим

Yx=y+byx(xt- X); xy=x+bxy(Yt-У). (188)

Система нормальных уравнений для определения параметров а

и Ь будет следующая:

аn+Ь ~ (Xt-X)= ~ У;

а ~(xt-x)+b ~(Хi-Х)'!=~У(Хt-Х).

Так как ~ (Х-Х) =0, то система уравнений оказывается такой:

аn=~Y;

Ь ~ (Xt -X)2= ~ У (Xt-X).

Отсюда параметры уравнения линейной регрессии, выраженной

в виде отклонений члеиов ряда от их средних величин, окаэы­

ваются следующими:

n

(190)

Эти формулы особенно удобны при определении параметров

эмпирических уравнений рядов динамики (см. ниже),

Множественная линейная регрессия. Зависимость между не·

сколькими переменными величинами принято выражать урав·

нением множественной регрессии, которая может быть лuней­ ной и нелuнейной, В простейшем виде множественная линей·

ная регрессия выражается уравнением с двумя неэависимыми

переменными величинами (Х, z):

где а - свободный член уравнения; Ь и с - параметры уравне­ ния, Для нахождения параметров этого уравнения (по спосо·

266

бу наименьших квадратов) применяют следующую систему

нормальных уравнений:

аn+Ь ~x+c ~z=~y;

а~x+b ~x2+c ~,xz=~xy;

а~z+b ~xz+c ~Z2=~yZ.

Чтобы по эмпирическим данным составить такую систему, не­

обходимо предварительно рассчитать ~X, ~y, ~yz, ~XZ, ~x2 И

~Z2.

Прuмер 6. Найти эмпирическое уравнение регрессии между

числом колосков у, кОличеством зерен z и длиной колосьев Х у озимой ржи. Данные о корреляционной зависимости между этими признаками приведены в табл. 115. Объем выборки n= = 10. Предполагая линейный характер связи между этими приз­

наками и учитывая их буквенные обозначения, возьмем за ис­

ходное уравнение регрессии уравнение вида

x=a+by+cz,

которому отвечает выше приведенная система нормальных

уравнений. Необходимые суммы см. в табл. 115. Подставляем

nx в уравнения системы:

10а +165Ь+294с =575;

165а+2891Ь+5202с =9908;

294а+5202Ь+9456с= 17816.

Чтобы решить эту систему относительно параметров а, Ь и с,

1,0212Ь +2, 1273с=2,5485;

0, 1727Ь+О,6360Ь=0,5501.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при Ь и найдем

разность между полученцыми уравнениями:

Ь+ 2,0831с = 2,4956

Ь+ 3.6827с = 3.1853

-1 ,5996с = -о,6897

267

= 2,4956, откуда Ь = 2,4956-0,8982= 1,5974.

Наконец, в первое (исходное) уравнение вместо Ь и с под­

ставляем их значения: 10а+165(I,5974)+294(О,4312)=575. От-

Ху=18,466+ l,597y+O,431z.

Подставляя в это уравнение задаваемые значения переменных

у и Z, можно определить ожидаемую величину переменной х,

т. е. среднюю длину колосьев этой культуры. Так, дЛЯ У= 10

и z=8 xy=18,466+10(l.597)+8(0,431)=37,334~37.9 см; дЛЯ У= 15 и z= 14 средняя длина колоса Ху= 18,466+15(1,597)+

+14(0,431)=48,455~48,5 см и т. д.

Найденное эмпирическое уравнение регрессии показывает,

что при изменении длины колосьев Х на 1 см число колосков

у при постоянном количестве зерен Z изменится в среднем на

1,60, а ЧИСло Z при постоянной величине У изменится в среднем

на 0,43.

РЯДЫ динамики. В ы р а в н и в а н и е р я Д о в. Изменение

признаков во времени образует так называемые времеННЬЕе ря­

ды или ряды динамики. Характерной особенностью таких ря­

дов является то, что в качестве независимой переменной Х

здесь всегда выступает фактор времени, а зависимой У- изме­

няющийся признак. В отличие от рядов регрессии зависимость

между переменными Х и У носит односторонний характер, так как фактор времени не зависит от изменчивости признаков. Не­

смотря на указанные особенности, ряды динамики можно упо­

добить рядам регрессии и обрабатывать их одними и теми же

методами.

Как и ряды регрессии, эмпирические ряды динамики несут

на себе влияние не только основных, но и многочисленных вто­

ростепенных (случайных) факторов, затушевывающих ту глав­

ную тенденцию в изменчивости признаков, которая на языке

статистики называется трендом.

Анализ рядов динамики начинается с выявления формы

тренда. Для этого временной ряд изображают в виде линейиого

графика в системе прямоугольных координат. При этом по оси

абсцисс откладывают временные точки (годы, месяцы и другие единицы времени), а по оси ординат - значения зависимой пе­

ременной У. При налИЧИИ линейной зависимости между пере­

менными Х и У (т. е. линейного тренда) для выравнивания ря­

да динамики способом наименьших квадратов наиболее подхо­

дящим является уравнение регрессии в виде отклонений чле-

268