uchebnik10
.pdfIисло степеней свободы устанавливают по вторичному числу
:лассов с учетом ограничений свободы вариации, которая в ,азных случаях бывает различной. Так, при оценке эмпириче
:ких распределений, следующих нормальному закону, число
~тепеней свободы k=N-З (с учетом трех ограничений свободы
Jариации: n, х и sx). Если же оценке подлежит распределение,
~ледующее закону Пуассона, число степеней свободы уменьша
'тся на единицу, т. е. k=N-2 (с учетом двух ограничений :вободы вариации n и Sx 2 или х). в других случаях число сте
{еней свободы устанавливают особо (см. ниже).
Таблнца 45
Частоты
|
|
|
|
|
d' |
|
q-!- |
|
d' |
|
|
|
d-f-f' |
d' |
- |
f (1) |
f'Q |
- |
|
эмпири, |
вычисленнЫе |
-s(l) |
|||||||
ческие f |
" |
|
|
J' |
|
|
|
J'q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
3 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
2 |
4 |
|||||||
9 |
f |
16:~ }1I,6 |
0,4 |
0,16 |
0,01 |
0,0594 |
0,9406 |
10,91 |
0,01 |
3 |
112 |
|
|||||||
31 |
|
34,3 |
3,3 |
10,89 |
0,32 |
0,1736 |
0,8264 |
28,35 |
0,38 |
71 |
|
67,8 |
3,2 |
10,24 |
0,15 |
0,3429 |
0,6571 |
44,55 |
0,23 |
82 |
|
77,6 |
4,4 |
19,36 |
0,25 |
0.3918 |
0,6082 |
47,20 |
0,41 |
46 |
|
51,2 |
5,2 |
27,04 |
0,53 |
0,2589 |
0,7411 |
37,94 |
0,71 |
19 |
|
19,5 |
0,5 |
0,25 |
0,01 |
0,0989 |
0,9011 |
17,57 |
0,01 |
f }6 |
б:~ }5,0 |
1,0 |
1,00 |
0,20 |
0,0247 |
0,9753 |
4,88 |
0,20 |
|
|
|
|
|||||||
~=267 |
~=267 |
- |
- |
1,47 |
- |
- |
- |
~= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,95 |
|
Прu,Мечанuе. Последнне четыре графы |
понадобятся в дальнейшем |
(см. |
|||||||
IJрнмер 7 разд. VI.3). |
|
|
|
|
|
|
|
На величине критерия 'Х,2 сказывается степень точности, с
~акой определены теоретически вычисленные или ожидаемые
тастоты. Поэтому при сопоставлении эмпирических частот с
iычисленными частотами последние не следует округлять до
~елых чисел 1.
Нулевая гипотеза сводится к предположению, что разлйчия,
.1аблюдаемые между эмпирическими и вычисленными или ожи
J;аемыми частотами, носят исключительно случайный характер. l,ля проверки нулевой гипотезы нужно фактически полученную
Jеличину 'Х,ф2 сравнить с ее критическим значением 'X,2 st . Если
"е до 0,5. Прн k=2 мнннмальное значение f'составляет 2. И только прн k= 1
ilннмальное значенне f'должно быть не менее 4. |
(Прu'м. ред.) |
1 Технику расчета теоретнческих частот |
варнационного ряда см. в |
абл, зо. |
|
139
"ф2~,,2st, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута на при
нятом уровне значнмости с числом степеней свободы k. Кри
тические точки ,,2st приведены в табл. VII Приложений.
Пример 1. В табл. 28 приведены эмпирические и вычислен
ные по нормальному закону частоты распределения длины те
ла у 267 мужчин. Из приведенных данных видно, что между
эмпирическими и вычисленными частотами нет полного совпа
дения. Нужно установить, случайны или закономерны эти раз
личия, т. е. выяснить, следует ли это распределенне нормаль
ному закону. Расчет ,,2-критерия, который Оказался равным
1,47, приведен в табл. 45.
В данном случае число вторичных классов N=7. Число
степеней свободы k=7-3=4. Исходя из 5%-ного уровня зна
чимости в табл. VII Приложений находим ,,2st =9,49. Эта ве
личина значительно превышает "ф2=1,47, что не позволяет от
вергнуть Но-гипотезу. Следовательно, существуют достаточные
основания для утверждения, что данное распределение следует
нормальному закону.
Критерий ,,2 применяют и для оценки сходства между ва
риационными рядами, частоты которых распределяются в гра
ницах одних и тех же классов. В таких случаях критерий ,,2
определяют по формулам:
2 |
k |
2') |
-N; |
(100) |
при n1=nz х |
=4 ~ |
11 |
||
|
( 1_1/1+/2 |
|
|
|
|
|
|
|
(101) |
в этих формулах fl и f2 - частоты сравниваемых распреде.'Iе ний; nl=!.fl-0бъем одного (любого), а n2=Щ2 -объем .1)1\'-
гого ряда распределения; N=nl+n2. Число степеней своб(I.I'.; k определяют по числу классов N без единицы, т. е. k=N-l.
При этом частоты, меньшие 5, не объединяют, как это приня
то в отиошении теоретически вычисленных частот.
Пример 2. Урожай фасоли, полученный иа делянках от по сева крупных fl и мелких f2 семян, распределился следующим
образом (табл. 46).
С помощью формулы (100) находим ,,2=4·104,78-200+200=
=419,12-400= 19,12. Эта величина не превышает критическую точку ,,2st =20,09 для k=9-1 =8 и 1%-ного уровня значимо сти (см. табл. VII Приложений) , что не дает оснований для непринятия нулевой гипотезы. Следовательно, наблюдаемые
между частотами этих рядов различия носят не систематиче
ский, а случайный характер.
1 См.: Плохuн.сtшЙ Н. А. Алгоритмы биометрии. М., 1980. С. 101,
140