Задачи для самостоятельного решения
72.
.
73.
.
74.
.
75.
.
76.
.
77.
.
78
.
79.
.
80.
.
81.
.
82.
.
83.
.
84.
.
85.
.
86.
.
87.
.
88.
.
89.
.
90.
.
91.
.
92.
.
93.
.
6.9 Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
.
(9.1)
Интеграл всегда берется в конечном виде
подстановкой
.
.
Эта подстановка является универсальной
для интегралов (9.1). Особенно удобно ею
пользоваться, если под интегралом стоит
дробь, в числителе и знаменателе каждой
стоят многочлены относительно
и
,
степени не более первой.
Пример.Найти интеграл
.
Сделаем подстановку
.
=
.
Заметим, что подстановка
,
приводит иной раз к сложным выкладкам.
Ниже указаны случаи, когда цель может
быть достигнута с помощью более простых
подстановок.
.
Если имеет место тождество
,
то удобнее сделать подстановку
,
.
Пример.Найти интеграл
.
Т.к.
,
то делаем подстановку
,
тогда
;
;
;
.
=
=
=
.
3)
. Для нахождения этих интегралов
применяется подстановка
.
. Подстановка
Пример.Найти интеграл
Сделаем подстановку
#
4)
,
Интеграл берётся понижением степени
с помощью формул
;
Пример.Найти интеграл
.
.
5)
.
Хотя бы одно из чисел
– целое положительное нечетное. Например,
.
.
Дальше можно сделать подстановку
.
Пример.Найти интеграл
.
6) Интегралы вида
Подынтегральные выражения преобразуются в сумму тригонометрических функций с помощью формул:
Пример.Найти интеграл
.
.
Задачи для самостоятельного решения
94.
.
95.
.
96.
.
97.
.
98.
.
99.
.
100.
.
101.
.
102.
.
103.
.
104.
.
105.
.
106.
.
107.
.
108.
.
109.
.
110.
.
111.
.
112.
.
113.
.
114.
.
115.
.
116.
.
117.
.
118.
.
6.10 Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения
.
Интеграл берется с помощью подстановки
,
где
– наименьший общий знаменатель дробей
.
Пример.Найти интеграл
.
Сделаем подстановку
.
.
.
Интеграл рационализуется с помощью тригонометрических подстановок
-
подстановка
;
-
подстановка
;
-
подстановка
.
Пример.Найти интеграл
.
Сделаем подстановку
.
.
3)
Интегрирование дифференциальных
биномов. Дифференциальным биномом
называется выражение
.
Интегралы
берутся в элементарных функциях только
в следующих трёх случаях: а)
-целое,
б)
-
целое. В этом случае делается подстановка
,
где
.
в)
-
целое. Подстановка
.
Пример.Найти интеграл
.
.
Здесь
поэтому
имеем второй случай. Подстановка
,
.
Пример.Найти интеграл
.
.
.
Имеем третий случай. Подстановка
,
.
=
4) Интегрирование выражений вида
.
Подстановки Эйлера.
а) Если
,
то применяется первая подстановка
Эйлера:
;
б) Если
,
то делается вторая подстановка Эйлера:
в) Если
имеет различные действительные корни
и
,
то применяется третья подстановка
Эйлера:
Пример.Найти интеграл
.
Т.к.
,
то применимIподстановку
Эйлера:
,
.
Задачи для самостоятельного решения
119.
120.
121.
.
122.
123.
124.
125.
.
126.
127.
.128.
129.
.
130.
131.
.
132.
.
133.
.
134.
135.
.
136.
.
137.
.
138.
.
139.
.
140.
141.
.