Задачи для самостоятельного решения

61.62.. 63.. 64.. 65.. 66.. 67.. 68.. 69.. 70.. 71..

6.6. Рациональные дроби

Функция называется дробно-рациональнойилирациональнойдробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степениmиnсоответственно, Для такой функции используют обозначение:

. (6.1)

Если , дробь (6.1) называетсяправильной, если же - дробь (6.1)неправильная.

Если дробь (6.1) неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, т.е. представить её в виде:

, (6.2)

где и- многочлены, причем , а значит дробь- правильная Выделение целой части производится делением числителяна знаменатель“уголком”.

Пример. Выделить целую часть дроби.

Разделим “уголком” числитель на знаменатель

Целая часть

. Итак,. #

Дроби вида , (6.3)

,, называютсяпростейшимиилиэлементарными.

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей указанных четырёх типов (6.3). Это разложение зависит от разложения на множители.

Пусть, (6.4)

где соответствует действительному корнюкратности , а- паре комплексных сопряженных корнейкратности.

В разложении на элементарные дроби сомножителюиз (6.4) будет соответствовать суммаkдробей вида, а сомножителюиз (6.4) – сумма дробей.

О нахождении коэффициентов – в разделе 6.8

Пример.Не определяя коэффициентов, записать разложение правильной дробно-рациональной функциина элементарные дроби.

 В разложении знаменателя на множителисоответствует действительному корнюкратности 3,– действительному простому корню,– паре простых комплексных сопряженных корней;– паре комплексных сопряженных корнейкратности 2.

Тогда разложение на элементарные дроби будет выглядеть так:

. #

6.7 Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей (6.3).

Дробь Iтипа..

Дробь IIтипа..

Дробь IIIтипа..

Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение .

===

==

==

+.

Дробь IVтипа. Интегрирование этих дробей после выделения в числителе дифференциала квадратного трехчленаи выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов

1);

2). (Предварительно сделана замена переменной). Этот интеграл вычисляется по рекуррентной формуле:.

6.8 Интегрирование рациональных дробей

-правильная рациональная дробь. Чтобы её проинтегрировать, нужноразложить на сумму элементарных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями (логарифм, степенная, арктангенс).

Если -неправильная рациональная дробь, то деля числитель на знаменатель, выделяем целую часть, которая является многочленом. Таким образом,можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, об интегрировании которых говорилось выше.

Пример.Найти интеграл.

 Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель её имеет действительные простые корни . Разложим подынтегральную дробь на элементарные:

. (8.1)

Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим

Полагая постепенно, получим систему уравнений

=#

Пример.Найти интеграл.

 Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:

, (8.2)

.

Коэффициентыможно найти, приравнивая в этом тождестве коэффициенты при одинаковых степеняхмногочленов, стоящих справа и слева в (8.2)

Решив систему уравнений, получим ,

.#