Необхідна умова екстремуму. Якщо точка x0 є точкою екстремуму функції і в цій точці існує похідна , то вона дорівнює нулю: .
Зауважимо,
що теорема Ферма є лише необхідною
умовою екстремуму: з того, що похідна в
точці
перетворюється на нуль, ще не випливає,
що в цій точці функція має екстремум.
Наприклад, похідна функції
перетворюється на нуль у точці 0, але
екстремуму в цій точці функція не має
(рис. 3).
Рис. 3
Досі
ми розглядали критичні точки, в яких
похідна дорівнює нулю. Розглянемо тепер
критичні точки, в яких похідна не існує.
(Зазначимо, що, наприклад, точка 0 для
функції
не є критичною: у ній похідна не існує,
але ця точка не є внутрішньою точкою
області визначення.) У цих точках функція
також може мати екстремум або не мати
його.
З теореми Ферма випливає, що при знаходженні точок екстремуму функції потрібно передусім знайти її критичні точки. Але, як випливає з розглянутих прикладів, питання про те, чи справді дана критична точка є точкою екстремуму, потребує додаткового дослідження. При цьому часто допомагають такі достатні умови існування екстремуму в точці.
Ознака
максимуму функції.
Якщо функція
неперервна в точці
і при цьому
на інтервалі
і
на інтервалі
,
то точка
є точкою максимуму функції
.
Зручно користуватися спрощеним формулюванням цієї ознаки.
Якщо
в точці
похідна змінює знак із «плюса» на
«мінус», то
є
точкою максимуму.
Ознака
мінімуму функції.
Якщо функція
неперервна в точці
і при цьому
на інтервалі
і
на інтервалі
,
то точка
є точкою мінімуму функції
.
Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки.
Якщо
в точці
похідна змінює знак із «мінуса» на
«плюс», то
є точкою мінімуму.
Приклад.
Знайти точки екстремуму функції
.
-
Похідна цієї функції дорівнює
,
визначена в усіх точках і перетворюється
на нуль у точках –1 і 1. У точці –1 похідна
змінює знак із «мінуса» на «плюс» (
при
і
при
).
У точці 1 похідна змінює знак із «плюса»
на «мінус». Користаючись ознаками
максимуму і мінімуму, дістаємо, що точка
–1 є точкою мінімуму, а точка 1 — точкою
максимуму функції
.
Графік функції зображено на рис. 4.
Рис. 4
1. Знайти критичні точки функції, графік якої зображено на рис. 1 і 2.
Рис. 1
Рис. 2
2. Знайти критичні точки функції.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
3. Знайти критичні точки функції. Визначити, які з них є точками максимуму, а які — точками мінімуму.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. Довести,
що функція
не має критичних точок.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
Знайти
критичні точки функції
(5—6).
5. а)
; б)
;
в)
; г)
.
6. б)
а)
в)
;
г)
7. Дослідити функцію на зростання, спадання та екстремум. Побудувати її графік.
а)
; б)
;
в)
; г)
.