ЛЕКЦІЯ
ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ГРАФІКИ
14.1. З історії поняття функції
Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб збагнути доцільність його введення й одержати перші доволі чіткі означення, знадобилися зусилля видатних математиків багатьох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ столітті, готували своїми працями вчені різних країн і народів. Але передусім варто назвати імена П. Ферма (1601—1665), Р. Декарта (1596—1650), І. Ньютона (1643—1727), Г. В. Лейбніца (1646—1716).
Необхідні передумови для формування поняття функції було створено в 30-х роках ХVII століття, коли виникла аналітична геометрія, яка на відміну від класичної геометрії Стародавньої Греції активно залучала алгебру до розв’язування геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що завдяки введенню системи координат на площині і заданню фігур їхніми рівняннями можна розв’язання багато задач геометрії звести до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, який дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутну систему координат пізніше було названо декартовою. Зауважимо, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося саме те «буквене числення», за допомогою якого нині перетворюють алгебраїчні вирази, розв’язують рівняння, текстові задачі і т. ін.
Великий англійський математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже досліджував функції. Хоча не Ньютон увів це поняття, він чітко усвідомлював його значення. Так, у 1676 році вчений зазначав: «Я не міг би, вочевидь, здобути ці загальні результати, аби не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу).
Сам термін «функція» вперше вжив великий німецький математик і філософ Г. В. Лейбніц — спочатку в рукопису (1673), а потім і в друкованому вигляді (1692). Латинське слово function перекладається як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor означає «виражати»). Лейбніц увів поняття функції, щоб схарактеризувати різні параметри, позв’язані з положенням точки на площині. Згодом Лейбніц і його учень Й. Бернуллі (1667—1748) прийшли до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 році подали таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена в який завгодно спосіб з цієї змінної та сталих».
Л. Ейлер у своїй книзі «Вступ до аналізу» (1748) сформулював означення функції так: «Функція змінної кількості — це аналітичний вираз, складений у деякий спосіб із цієї змінної кількості та чисел або сталих кількостей».
Ейлер упровадив і застосовувані нині позначення для функцій.
Сучасне означення числової функції, в якому це поняття вже не пов’язувалося способом задання, дали незалежно один від одного російський математик М. І. Лобачевський (1834) і німецький математик Л. Діріхле (1837). Основна ідея такого означення полягала ось у чому: не істотно, в який спосіб (це може бути будь-яке правило, не лише аналітичний вираз) кожному х поставлено у відповідність певне значення у, важливо тільки, що цю відповідність установлено.
Сучасне поняття функції з довільними областями визначення і значень сформувалося, власне кажучи, зовсім недавно, на початку ХХ століття, у працях творця теорії множин Г. Кантора (1845—1918).
Складний і дуже тривалий шлях розвитку поняття функції доволі типовий. Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного поняття, потрібно виокремити його в процесі розв’язування багатьох конкретних задач і дати означення, що якнайчастіше відбиває його зміст.
До поняття функції математики йшли, відштовхуючись від конкретних задач математики та її застосування. Це відбувалося в процесі створення нового могутнього апарата досліджень — інтегрального і диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального числення, центральним поняттям якого Ейлер назвав функцію («Увесь аналіз нескінченного обертається навколо змінних кількостей і їхніх функцій»), розширило можливості математики.