MatAnDetInt2

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета по теме ¾Определенный интеграл¿. Приложения, часть 2. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ. 2003.

Данные указания написаны на основе лекций, читаемых на физическом факультете РГУ. Это позволит студентам многие теоретические разделы курса ¾математический анализ¿, относящиеся к данной теме, изучать самостоятельно.

Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных

уравнений от 6 мая 2003 г. (протокол № ).

3

СОДЕРЖАНИЕ

8. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . 4 Вычисление площадей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Вычисление длины дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Вычисление объемов с помощью определенного интеграла . . . 11 Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

9. Механические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . 19 Масса неоднородного стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Координаты центра тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Работа переменной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5

Следовательно,

2. Пусть f(x) не обязательно принимает положительные значения.

Тогда построим графики функций y = g(x)+c и y = f(x)+c, c подобрано

Фигура D получается параллельным переносом фигуры D. Значит,

Следствие 3. Если f(x) меняет знак на [a, b] в конечном числе точек, то площадь фигуры, ограниченной отрезком [a, b] оси Ox и графиком функции y = f(x), вычисляется по формуле

6

B) Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β]. Будем считать, что r и ϕ полярные координаты точки. Тогда любому

ϕ0 [α, β] соответствует r0 = r(ϕ0) и, значит, точка M0(ϕ0, r0), где ϕ0, r0 полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, ¾пробегая¿ весь

[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную уравнением r = r(ϕ).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), α 6 ϕ 6 β.

B

A

β

Справедлива следующая

Теорема 7.11. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

β

Доказательство. Разобьем весь [α, β] произвольным образом на n частей

α = ϕ0 < ϕ1 < . . . < ϕk−1 < ϕk < . . . < ϕn = β. Проведем лучи

ϕ = ϕk, k = 1, . . . , n − 1. Тогда весь криволинейный сектор разобьется на n элементарных криволинейных секторов, площадь которых приближенно равна площади кругового сектора, ограниченного лучами ϕ = ϕk−1,

7

ϕ = ϕk и дугой окружности r = r(θk), θk произвольная точка сегмента

[ϕk−1, ϕk].

Очевидно, что σ есть интегральная сумма, составленная для функции 12r2(ϕ)

и в силу непрерывности r(ϕ) на [α, β] эта интегральная сумма имеет ко-

нечный предел при λ → 0, независящий ни от разбиения сегмента [α, β]

β

Z

на части, ни от выбора точек θk; он равен 12 r2(ϕ) dϕ. Следовательно,

α

окончательно

что и требовалось доказать.

II. Вычисление длины дуги.

Пусть плоская кривая AB задана уравнением y = f(x), x [a, b] и f(x) функция непрерывная на [a, b].

Разобьем [a, b] произвольно на n частей точками xk: a = x0 < x1 <

. . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b. Проведем прямые x = xk, k = 1, . . . , n − 1.

9

Последнее выражение является интегральной суммой для непрерыв-

p

ной, а, следовательно, и интегрируемой на [a, b] функции 1 + [f0(x)]2. Отсюда вытекает, что рассматриваемая кривая является спрямляемой и ее длина вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть AB задана параметрически

x = x(t) , α 6 t 6 β; A(x(α), y(α)); B(x(β), y(β)).y = y(t)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда формулу (18) можно записать так

b

Z

p

LAB = 1 + [y0(x)]2 dx.

a

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y0(x) =

dy = y0(t) ; dx = x0(t) dt и, следовательно, dx x0(t)

r = r(ϕ), ϕ [α, β]. Можно свести это задание кривой к параметрическому заданию

x = r(ϕ) cos ϕ

, ϕ [α, β].

y = r(ϕ) sin ϕ

10

Тогда из формулы (19) получим

Пусть функции ϕ(t), ψ(t) непрерывно-дифференцируемы на [α, β]. Выбе-

рем некоторую переменную точку M AB. Ей соответствует значение параметра t. Длину переменной дуги AM обозначим L(t) и согласно фор-

муле (19)

t

Z

p

L(t) = ϕ02(τ) + ψ02(τ) dτ.

α

Так как подинтегральная функция непрерывна, то L(t), как интеграл с переменным верхним пределом, есть функция дифференцируемая и

или

dϕ 2 + dψ 2 = 1. dL dL

Замечание. Все сказанное ранее для плоских дуг распространяется и на пространственные дуги:

x = ϕ(t)

y = ψ(t)

z = g(t), t [α, β].