Публікації здобувача за темою дисертації
[1] Солдатов М.А. Колебания жидкости в бассейне, частично покрытом льдом // Ученые записки СГУ. — 2000. — Т. 12, н. 2. — С. 80–83.
[2] Солдатов М.О. Малі рухи ідеальної рідини в басейні, покритому льодом // Київ, Вісник Київського Університету. — 2000. — Вип. 1. — С. 140–144.
[3] Солдатов М.О. Про спектр частот власних коливань ідеальної рідини в басейні, покритому льодом // Київ, Вісник Київського Університету. — 2000. — Вип. 2. — С. 131–135.
[4] Солдатов М.О. Про асимптотику частот власних коливань ідеальної рідини в басейні, частково вкритому кришеним льодом // Київ, Вісник Київського Університету. — 2000. — Вип. 4. — С. 112–116.
[5] Солдатов М.О. Про одну спектральну задачу, породжену проблемою коливань ідеальної рідини в басейні, покритому льодом // Київ, Вісник Київського Університету. — 2001. — Вип. 1. — С. 173–177.
[6] Soldatov M.A. Oscillations of an ideal fluid in a basin partially closed by ice // Mark Krein Intern. Conference. Operator Theory and Appl. Book of Abstracts. — August 18-22, 1997, Odessa, Ukraine. — P. 111–112.
[7] Soldatov M. Small movements and proper oscillations of an ideal fluid in a basin partially closed by ice // Intern. Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of Abstracts. — May 28–31, 2002, Lviv, Ukraine. — P. 191.
Анотації
Солдатов М.О. Математичні аспекти теорії коливань рідини в басейні, частково вкритому кригою. — Рукопис.
Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 2003.
Дисертація присвячена дослідженню задач про малі рухи і власні коливання ідеальної рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом. З використанням методу проектування рівнянь на підпростори ортогонального розкладання гільбертова простору вектор-функцій, заданих в області, заповненій рідиною, а також проектування граничних умов на підпростори ортогонального розкладання гільбертова простору скалярних функцій, заданих на рухомій поверхні, доведено теореми про сильну (за часом) розв’язність початково-крайових задач.
Досліджено спектральні задачі про власні коливання гідродинамічної системи. Вивчено структуру спектра частот власних коливань. Доведено базисність системи власних функцій. Отримано також асимптотичні формули для гілок власних значень.
Ключові слова: початково-крайова задача, диференціально-операторне рівняння, задача Коші, гільбертів простір, лінійний оператор, власні коливання, спектральна задача.
Soldatov M.A., Mathematical aspects oscillations theory of an fluid in а basin partially closed by ice. — Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of physical and mathematical degree on the speciality 01.01.03 - mathematical physics. B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2003.
The dissertation deals with the investigation of the problems on small oscillations of an ideal fluid in а basin, partially closed by elastic and crumb ice. With usage functional analysis methods theorems on strong solvability of corresponding initial boundary value problems are proved.
The corresponding spectral problems are studied. Basis property of eigenfunctions system is proved. Asymptotic formulas are also investigated.
Key words: initial boundary value problem, operator-differential equation, Cauchy problem, Hilbert space, linear operator, eigen-oscillations, spectral problem.
Солдатов М.А. Математические аспекты теории колебаний жидкости в бассейне, частично покрытом льдом. — Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 – математическая физика. Физико-технический институт низких температур им. Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2003.
Диссертация посвящена исследованию задач о малых движениях и собственных колебаниях идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом упругим и крошеным льдом. Получены формулировки начально-краевой задачи идеальной жидкости в произвольном бассейне с подвижной поверхностью, состоящей из участков упругого льда, крошеного льда и чистой воды. Эти формулировки приведены как в исходной постановке, содержащей поле скорости, поле давлений и поле вертикальных отклонений подвижной поверхности, так и в форме, содержащей потенциал скоростей. С использованием метода проектирования уравнений на подпространства ортогонального разложения гильбертова пространства вектор-функций, заданных в области, заполненной жидкостью, исходная начально-краевая задача приведена к окончательной форме, содержащей в качестве искомой функции лишь потенциал смещений. Приведена классификация всех возможных вариантов исследуемых задач на три уровня сложности, по принципу ”от простого к сложному”.
Разработан подход, основанный на применении теории операторных матриц, действующих в гильбертовом пространстве, и позволяющий перейти от исходной начально-краевой задачи к равносильной задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения гиперболического типа специального вида. Для абстрактной формы этой задачи Коши доказана теорема о ее сильной разрешимости в энергетическом пространстве, отвечающем оператору кинетической энергии. Выбор вида абстрактной задачи определяется тем, что все задачи трех уровней сложности, рассмотренные в данной работе, сводятся к задаче такого вида. Отличие в задачах состоит в свойствах операторных коэффициентов, что приводит к различным условиям разрешимости эволюционных задач.
Для задач второго и третьего уровней сложности, когда на подвижной поверхности имеется не менее двух соприкасающихся сред, разработан метод проектирования граничных условий на ортогональные подпространства, естественно вводимые в каждой задаче. С использованием этого метода и теоремы разрешимости для абстрактной формы задачи Коши указанного вида доказаны теоремы о сильной (по времени) разрешимости начально-краевых задач.
Исследованы спектральные задачи о собственных колебаниях гидродинамической системы. Изучена структура спектра частот собственных колебаний. Доказана базисность системы собственных функций. Получены также асимптотические формулы для ветвей собственных значений.
Для задачи о малых движениях идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом крошеным льдом и имеющем на подвижной поверхности участки чистой воды в соответствующей спектральной задаче доказаны свойство дискретности спектра с двумя предельными точками: в конечной точке положительной полуоси и на бесконечности. Получены асимптотические формулы для двух ветвей собственных значений с этими предельными точками, объяснен физический смысл этих ветвей. Доказано свойство ортогональной базисности системы собственных функций.
В проблеме малых движений идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом упругим и крошеным льдом для соответствующей спектральной задачи доказано существование двух ветвей собственных значений. Установлено свойство базисности системы собственных функций, дано физическое объяснение полученным результатам.
В задаче о малых колебаниях идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом упругим льдом и имеющим участки чистой воды, доказано, что соответствующая спектральная задача имеет дискретный спектр с одной предельной точкой на бесконечности, а система собственных функций образует ортогональный базис в энергетическом пространстве функций, описывающих отклонение подвижной поверхности, и отвечающем кинетической энергии системы.
Для задачи третьего уровня, когда на подвижной поверхности имеется упругий и крошеный лед, а также участки чистой воды, в спектральной задаче доказана дискретность спектра, существование двух ветвей собственных значений (с конечной предельной точкой на положительной полуоси и на бесконечности), свойство ортогональной базисности системы собственных функций. Дана общая физическая трактовка полученных результатов.
В проблеме о малых колебаниях идеальной жидкости в бассейне с подвижной поверхностью, состоящей из участков крошеного льда различной постоянной плотности и из участков чистой воды, установлено, что соответствующая спектральная задача имеет дискретный положительный спектр, состоящий из стольких ветвей собственных значений с предельными конечными точками на положительной полуоси, сколько имеется участков крошеного льда разной плотности, а также из ветви с предельной точкой на бесконечности. Установлено свойство ортогональной базисности системы собственных функций. Дано физическое объяснение результатов, полученных в спектральной задаче.
Ключевые слова: начально-краевая задача, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши, гильбертово пространство, линейный оператор, собственные колебания, спектральная задача.