Висновки

У роботі розглянуто новий клас задач гідродинаміки та математичної фізики. Основні результати, що одержані в дисертації і виносяться на захист, такі:

1) Отримано формулювання початково-крайової задачі ідеальної рідини в довільному басейні з рухомою поверхнею, що складається з ділянок пружного льоду, кришеного льоду і чистої води. Ці формулювання наведено як в початковій постановці (див. (1)), що містіть поле швидкості, поле тиску і поле вертикальних відхилень рухомої поверхні, так і в формі, що містить потенціал швидкостей (див. (8)), а також в остаточній формі, що містить за шукану функцію лише потенціал зміщень (див. (10)). Наведено класифікація всіх можливих варіантів досліджуваних задач на три рівні складності, за принципом "від простого до складного".

2) Для задач другого і третього рівнів складності, коли на рухомій поверхні є не менш двох дотичних середовищ, розроблено метод проектування граничних умов на ортогональні підпростори, що природно вводяться в кожній задачі.

3) Розроблено підхід, що заснований на застосуванні теорії операторних матриць, що діють у гільбертовому просторі, і дозволяє перейти від вихідної початково-крайової задачі до рівносильної задачі Коші для диференціально-операторного рівняння гіперболічного типу спеціального виду. Для абстрактної форми цієї задачі Коші доведено теорему про її сильну розв’язність в енергетичному просторі, що відповідає оберненому оператору кінетичної енергії.

4) Для задач першого рівня складності, коли на рухомій поверхні є або чиста поверхня, або кришений лід, або пружний лід, доведено теореми про сильну (за часом) розв’язність початково-крайових задач у трьох формулюваннях. У спектральній задачі про власні коливання рідини в басейні з кришеним льодом на рухомій поверхні доведено теореми про дискретність спектра, про існування кінцевої граничної точки спектра, про асимптотичну поведінку власних значень, а також властивість ортогональної базисності власних функцій. Пояснено фізичне значення кінцевої граничної точки.

5) У задачі про малі рухи ідеальної рідини в басейні, що частково вкритий кришеним льодом і має на рухомій поверхні ділянки чистої води, доведено теореми про сильну (за часом) розв’язність початково-крайової задачі в трьох постановках. У відповідній спектральній задачі доведено властивість дискретності спектра з двома граничними точками: в кінцевій точці додатної півосі і на нескінченності. Отримано асимптотичні формули для двох гілок власних значень з цими граничними точками, пояснено фізичне значення цих гілок. Доведено властивість ортогональної базисності системи власних функцій.

6) У проблемі малих рухів ідеальної рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом, доведено теореми про сильну (за часом) розв’язність початково-крайових задач (у трьох формулюваннях). У спектральній задачі доведено існування двох гілок власних значень. Встановлено властивість базисності системи власних функцій.

7) У задачі про малі коливання ідеальної рідини в басейні, що частково вкритий пружним льодом і має ділянки чистої води, доведено теорему про сильну (за часом) розв’язність початково-крайових задач у трьох формулюваннях. Доведено, що відповідна спектральна задача має дискретний спектр з однією граничною точкою на нескінченності, а система власних функцій утворює ортогональний базис в енергетичному просторі функцій, які описують відхилення рухомої поверхні, і що відповідає кінетичній енергії системи.

8) Для задачі третього рівня, коли на рухомій поверхні є пружний і кришений лід, а також ділянки чистої води, доведено існування сильного (за часом) розв’язку початково-крайової задачі (в трьох формулюваннях). У спектральній задачі доведено дискретність спектра, існування двох гілок власних значень (з кінцевою граничною точкою на додатної півосі та на нескінченності), властивість ортогональної базисності системи власних функцій. Подано загальне фізичне трактування отриманих результатів.

9) У задачі про малі коливання ідеальної рідини в басейні з рухомою поверхнею, що складається з ділянок кришеного льоду різної постійної щільності і з ділянок чистої води, доведено теорему про сильну (за часом) розв’язність початково-крайової задачі. У спектральній задачі встановлено, що вона має дискретний додатний спектр, що складається зі стількох гілок власних значень з граничними кінцевими точками на додатної півосі, скільки є ділянок кришеного льоду різної щільності, а також з гілки з граничною точкою на нескінченності. Встановлено властивість ортогональної базисності системи власних функцій. Подано фізичне пояснення результатів, отриманих в спектральній задачі.