НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І.Вєркіна

СОЛДАТОВ Максим Олександрович

УДК 517.9:532

Математичні аспекти теорії коливань рідини в басейні, частково вкритому кригою

01.01.03 – Математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2003 р.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті

ім. В.І. Вернадського, м. Сімферополь.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, завідувач кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук Котляров Володимир Петрович, керівник відділу, старший науковий співробітник, Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор Руткас Анатолій Георгійович, завідувач кафедри математичного моделювання Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна

Провідна установа Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 04.09.2003 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І.Вєркіна Національної Академії Наук України, 61103, м. Харків, проспект Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур.

Автореферат розісланий 02.08.2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фіз.-мат. наук Горькавий В.О.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачі механіки суцільних середовищ і гідродинаміки завжди служили стимулом розвитку нових напрямів математики й математичної фізики.

Останні десятиріччя характеризуються проникненням методів функціонального аналізу в механіку суцільного середовища. У джерел цього процесу знаходилися Г. Вейль, Ж. Лере, С.Л.Соболєв, К.О.Фрідріхс. Надалі в розробку цих питань включився великий колектив вітчизняних і зарубіжних вчених.

Задачі про рух твердих тіл з порожнинами, наповненими рідинами, є класичними. Початок їх досліджень сходить до робіт Д. Стокса, Г. Гельмгольца, Г.Ламба, М.Є. Жуковського. Вивчення таких задач у другій половині XX ст. особливо привертає увагу як вітчизняних, так і зарубіжних вчених. Ці задачі пов'язані, зокрема, з розвитком ракетної та космічної техніки, з проблемами геології, геофізики, астрофізики, океанології і фізики атмосфери. У багатьох випадках математичні моделі таких проблем істотно нелінійні та піддаються дослідженню лише чисельними методами. Однак ряд цікавих і корисних задач можна розглядати в рамках лінійних моделей, що приводять до нетрадиційних початково-крайових задач. Це безумовно визначає самостійний математичний інтерес до таких проблем.

Однією з найважливіших складових загальної задачі динаміки тіла з порожниною, що містить рідину, є задача про рух рідини в нерухомій судині. Цій проблемі присвячено досить багато робіт, а також монографій відомих вчених (Н.Н.Моїсеєв, І.О.Луковський, М.Д.Копачевський, С.Г.Крейн та ін.).

Крижаний покрив є важливим компонентом гідрологічного режиму замерзаючих морів і океанів. Наявність плаваючого льоду на поверхні морів і океанів істотним чином впливає на характер їх поведінки. Розгляд таких проблем є одним з важливих розділів океанології, практична ефективність якого безперечна.

Розгляд задач динаміки рідини в областях з пружними кордонами (окремим випадком є пружний лід на поверхні рідини) проводився в роботах А.В. Андронова, М.Д. Копачевського, Р.Ю. Амен-заде, М.П. Петренко.

Близьку до задачі про динаміку рідини в областях, вкритих кришеним льодом, яка називається задачею про флотацію, досліджували С.О. Габов і О.Г. Свешников, а також А.С. Пітерс, Б.Н. Мандал. Досі дана область є недостатньо вивченою і, що стосується розгляду кінцевих областей, новою.

Дана робота присвячена вивченню задач динаміки рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, що увійшли в дисертацію, пов’язані з такими плановими науковими дослідженнями кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.I. Вернадського: бюджетна тема "Математичний аналіз i його застосування" (1997-2000 рр., 2000-2005 рр.); бюджетна тема 0198U005792 "Операторнi методи в лiнiйнiй гiдродинамiцi й суміжні питання в теорії оператор-функцiй" (1996-2000 рр.); 0197000426 "Операторнi методи, аналіз в шкалах просторів та їх застосування в механіці суцільних середовищ" (1997-1999 рр.); 205/00 "Операторнi блок-матрицi й шкали й проблеми малих рухів суцільних середовищ" (2000-2002 рр.).

Мета роботи. Дослідження задач математичної фізики, породжених проблемою малих рухів рідини у басейні, частково вкритому пружним льодом і льодовою кригою. Вивчення питань сильної розв'язності відповідних початково-крайових задач. Дослідження проблеми власних коливань указаних гідросистем.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі розглянуто новий клас задач гідродинаміки та математичної фізики.

1) Для задач, коли на рухомій поверхні є не менш двох дотичних середовищ, розроблено метод проектування граничних умов на ортогональні підпростори, що природно вводяться в кожній задачі.

2) Розроблено підхід, що заснований на застосуванні теорії операторних матриць, які діють у гільбертовому просторі, і дозволяє перейти від вихідної початково-крайової задачі до рівносильної задачі Коші для диференціально-операторного рівняння гіперболічного типу спеціального виду.

3) Доведено теореми про сильну (за часом) розв’язність початково-крайових задач, коли на рухомій поверхні є тільки одне, а також два та всі три (пружний лід, кришений лід, чиста вода) середовища.

4) Досліджено структуру спектра частот власних коливань, отримано асимптотичні формули для гілок власних значень, доведено властивість ортогональної базисності власних функцій.

Практична цінність. Результати роботи мають теоретичний та практичний характер. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях різних задач гідродинаміки, зокрема, метод проектування граничних умов може застосовуватись у задачах, де на різних ділянках межі завдано різні умови.

Проведена в дисертації робота доповнює теорію хвильових процесів i може бути використана в подальших дослідженнях задач гідродинаміки. На основі одержаних результатів можуть бути проведені розрахунки частот i форм коливань досліджуваних гідродинамічних систем.

Особистий внесок здобувача.

Постановка задач i обговорення результатів належать М.Д. Копачевському, доведення всіх тверджень — автору.

Апробація роботи. Результати дисертації докладалися на X, XI, XIII Кримських Осінніх Математичних Школах-симпозіумах зі спектральних і еволюційних задач (Севастополь, 1999, 2000, 2002 рр.), XXV – XXXI наукових конференціях професорсько-викладацького складу Сімферопольського державного університету — нині Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, 1996-2002 рр.), на конференції з теорії операторів та її застосувань, присвяченій М.Г. Крейну (Одеса, 1997 р.), на семінарі відділу теорії хвиль Морського гідрофізичного інституту НАН України (Севастополь, зав. відділом чл.-корр. НАНУ Л.В. Черкесов, 2001 р.), на конференції з функціональному аналізу та його застосувань, присвяченій С.Банаху (Львів, 2002 р.), на семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальної математиці" Інституту математики НАН України (під керівництвом академіка НАНУ І.О. Луковського, чл.-корр. НАНУ В.Л. Макарова, Київ, 2003 р.), на семінарі Фізико-технічного Інституту Низьких Температур НАН України (під керівництвом чл.-корр. НАНУ Е.Я. Хруслова, Харків, 2003 р.)

Структура i обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 206 сторінках i складається зі вступу, чотирьох розділів основного змісту, списку цитованої літератури (6 сторінок, 58 назв) i двох додатків (50 сторінок).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у п'яти статтях, в одному збірнику наукових праць та одній тезі.