Chast_3_1_l_17-18
.pdf197
s c2 t2 x2 y2 z2 .
Величина интервала s может быть как вещественной, так и мнимой, в
зависимости от знака подкоренного выражения.
Рассмотрим случай вещественного интервала
c2 t2 x2 y2 z2 .
В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета, в которой два события происходят в одном месте. Для этого необходимо, чтобы имело место
условие
c2 t2 x2 y2 z2 c t .
Вещественные интервалы получили название «времениподобных интервалов».
Если два события, в частности, происходят с одной и той же физической системой, то интервал между этими событиями имеет времениподобный
характер. Действительно, за время t |
между двумя |
последовательными |
|
|
|
событиями система может пройти путь |
x2 y2 z2 |
c t , поскольку ее |
скорость всегда меньше скорости света.
Пример интервал между двумя событиями, представляющими последовательные показания одних и тех же часов.
Случай мнимого интервала s .
Это пространственноподобный интервал, т.к. всегда можно найти такую систему отсчета, что
c2 t2 x2 y2 z2 j x 2 y 2 z 2 .
Покажем, что собственное время является инвариантной, абсолютной величиной.
Пусть дана инерциальная система отсчета О'. В некоторой точке x , y , z происходят два последовательных события, разделенных промежутком времени t . Время измеряется часами покоящимися в О'. t – собственное время прошедшее между двумя событиями.
Интервал между ними
198
s c2 t 2 x 2 y 2 z 2 c t .
Таким образом, собственное время связано с интервалом соотношением
t s и является инвариантом. c
Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное и прямолинейное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат,
которая (вместе с рассматриваемыми часами) будет являться тоже инерциальной системой отсчета.
Обозначим через dt показание (бесконечно малое) неподвижных часов, dt - соответствующее показание движущихся часов. В силу инвариантности
интервала
с2dt2 dx2 dy2 dz2 c2dt 2 ,
откуда
dt dt |
1 |
dx2 |
dy2 dz2 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
c2dt2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
dt 1 |
c2 |
in var |
|
|
(3.19) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
где u - скорость движения часов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если по неподвижным |
часам |
|
пройдет время |
t2 t1 , то время по |
|||||||||||||||
движущимся часам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
1 |
|
|
|
in var . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
t2 |
t1 |
|
|
c2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199 |
44. |
Инвариантность |
физических |
законов |
относительно |
преобразований Лоренца. Четырехмерная формулировка преобразований
Лоренца
Все законы физики должны быть сформулированы таким образом, чтобы они оставались инвариантными относительно преобразований Лоренца.
Соотношения, инвариантные относительно преобразований Лоренца, называют релятивистскими или Лоренц-инвариантными.
Уравнения механики, инвариантные относительно преобразований Галилея, не удовлетворяют требованию инвариантности относительно преобразований Лоренца и, следовательно, должны быть видоизменены.
Наоборот, законы электродинамики – уравнения Максвелла уже с самого начала были сформулированы так, что они оказались релятивистски-
инвариантными.
Требование инвариантности физических законов относительно некоторых преобразований систем координат не является специфической особенностью теории относительности. Хорошо известно, что требование инвариантности физических законов относительно поворота системы координат непосредственно связано с изотропией пространства.
Например, второй закон Ньютона в какой-то конкретной системе координат имеет вид:
mx F x . my F y , mz F z .
При любом повороте системы координат проекции ускорения и силы преобразуются по одному и тому же закону, и в новой системе координат закон будет иметь такой же вид, как и в старой системе координат. Еще более очевидна инвариантность физического закона относительно поворота системы координат, если он записан в виде
,
где и – скаляры.
Итак, в классической физике законы записанные в виде
200
a b ,
инвариантны относительно поворота системы координат.
Рассмотрим поворот системы координат вокруг оси z на угол (рис. 3.5).
Очевидно, координаты точки преобразуются по закону:
xx cos y sin ,
yx sin y cos , z z .
Рис. 3.5. Поворот системы координат вокруг оси z
Возвращаясь к теории относительности, введем четвертую координату
ict , где i 1 – мнимая единица. Будем называть эту координату мнимым временем и будем считать x, y, z, τ ортогональными координатами в некотором воображаемом четырехмерном пространстве.
Очевидно, ds2 dx2 dy2 dz2 d 2 .
Преобразования Лоренца не изменяют ds2 – квадрат расстояния со знаком минус между двумя точками в четырехмерном пространстве.
Линейное преобразование, не изменяющее расстояние между двумя точками – это вращение.
Рассмотрим движение системы О' вдоль x и x'. При четырехмерной интерпретации это означает поворот в плоскости x, τ при неизменной ориентации осей y, z.
xx cos sin ,
x sin cos .
Возьмем начало О'
x sin ,
201
|
|
|
cos , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tg |
x |
|
x |
|
i |
x |
i |
v |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ict |
|
|
|
|
ct |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
v2 |
|
||||||||||||||||
|
|
1 tg2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
v |
|
|
|
|
|
|
|||
sin tg cos |
|
|
|
|
c |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 v2 c2
При этом
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
v2 |
; |
|
y y ; |
z z ; |
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
; |
|
|
|
|
(3.20) |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если учесть, что ict |
|
и ict , |
то из (3.20) получим уже известные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
формулы преобразований Лоренца (3.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x vt |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
2 x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
; y y ; |
z z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для того, чтобы некоторое выражение было релятивистски- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
инвариантным оно должно иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a и b - скаляры, или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a , |
b – четырехмерные векторы, |
имеющие |
|
|
четыре |
компоненты |
||||||||||||||||||||||||||||||
( x, y,z, ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Введение временной координаты |
имеет глубокий физический смысл. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оно указывает на неразрывную связь пространства и времени. |
|
|
|
|
202
Вопросы и задачи к лекции 18
195-1. Выведите формулы преобразования скоростей Эйнштейна.
196-2. Покажите, что при v c ( v - скорость движения материальной
точки) формулы преобразования скоростей Эйнштейна переходят в формулы преобразования скоростей Галилея.
197-3. |
Покажите, что скорость тела в пустоте с является предельной |
||
скоростью движения тел. |
|
|
|
198-4. Покажите несостоятельность принципа дальнодействия и |
|||
правильность принципа близкодействия. |
|
|
|
199-5. Какие инвариантные величины (скаляры) вы знаете? |
|
|
|
200-6. |
Докажите инвариантность интервала. |
|
|
201-7. |
Докажите инвариантность собственного времени. |
|
|
|
|
|
|
202-8. |
В системе О интервал имеет выражение S |
c2 t2 x2 , |
причем c2 t2 x2 . Как называется |
такой интервал? |
Найдите |
скорость v |
||||||||
движения системы O вдоль |
х, чтобы в системе O этот интервал имел |
||||||||||
выражение S c t , т.е. был чисто временным. |
|
|
|
|
|||||||
|
203-9. |
В |
системе |
О |
интервал |
имеет |
выражение |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
c . Как |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
|
c2 t2 |
x2 |
y2 z2 , |
причем x2 y2 z2 c2 t2 и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
называется такой интервал? Найдите скорость v движения системы O вдоль х,
чтобы в системе O этот интервал имел выражение S x 2 y 2 z 2 ,
т.е. был чисто пространственным.
204-10. Что называется мнимым временем?
205-11. Выведите четырехмерную формулировку преобразований Лоренца.
203
Лекция 19
45. Четырехмерные векторы. Четырехмерные скорость и ускорение
Введем, прежде всего, четырехмерный радиус-вектор r . Компоненты его на оси координат равны x, y, z, τ.
В общем случае четырехмерным вектором, кратко, 4-вектором, мы
назовем вектор a , имеющий проекции на оси координат ax , a y , az , a ,
которые при преобразованиях Лоренца преобразуются как компоненты вектора
r .
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ax |
ax |
i c a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пространственные компоненты: |
1 |
v2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
c2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ay a y , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az az . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
i c ax |
|||||||||
Временная компонента: |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
v2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
При преобразовании остается неизменным квадрат вектора. Это легко показать непосредственным вычислением.
a2 ax2 a2y az2 a2 in var ,
a2 0 – пространственно подобный вектор, a2 0 – времениподобный вектор.
Построим четырехмерный вектор скорости. Мы должны построить такой
4-вектор скорости, который образуется в виде производной от 4-радиуса-
вектора по некоторому инварианту – скаляру. Выбор этого скаляра определяется тем, что при малых скоростях v << c пространственные компоненты 4-вектора скорости должны превратиться в компоненты обычной скорости.