- •Производная
- •Производная сложной функции
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям: .
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
Производная
Определение: Производной функции в точкех называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции; функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке.
Эквивалентные обозначения производной:
.
Основные правила дифференцирования:
1. .
2.
3.
4.
5.
Таблица производных:
1.
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7..
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
Пример. Найти производную функции .
Решение: .
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции .
Решение: .
Пример. Найти производную функции .
Решение:
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции .
Решение:
Пример. Найти производную функции .
Решение:
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция от функции.
В записи x называется независимой переменной,
u – промежуточным аргументом; u(x) – внутренняя функция;
f – внешняя функция.
Производная сложной функции равна производной от внешней функции по промежуточному аргументу, помноженной на производную внутренней функции:
.
Таблица производных для сложных функций:
1. . 1.1..
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
Во всех формулах u является некоторой функцией от х.
Пример. Найти производную функции .
Решение: Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых» функций , где. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции .
Решение: .
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции .
Решение:
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции
Решение:
Пример. Найти производную функции
Решение:
=
Задачи для самостоятельной работы
1–50. Вычислить производные от заданных функций:
Указание: Студентам не рекомендуется увлекаться упрощением выражений, полученных в результате дифференцирования, так как основная цель этой главы заключается в освоении техники дифференцирования, а не в проверке умения производить тождественные преобразования.
1) . 2) .
3) . 4).
5) . 6) .
7) . 8).
9) . 10).
11) . 12).
13) . 14).
15) . 16).
17) . 18).
19) . 20).
21) . 22).
23) . 24) .
25) . 26).
27) . 28).
29) . 30).
31) . 32).
33) . 34).
35) . 36).
37) . 38).
39) . 40).
41) . 42).
43) . 44).
45) . 46).
47) . .48).
49) . 50).
Неопределенный интеграл
Определение: Неопределенным интегралом называется функция, содержащая произвольное постоянноеС, дифференциал которой равен подынтегральному выражению ,
т.е , если .
Основные свойства неопределенного интеграла
1. .
2. .
3. .
Таблица основных интегралов
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6..
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.
Примеры: Найти интегралы:
1) ;
2) .
Решение: 1) Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
.
2) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
=
=.
Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интегралепеременнуюх заменяют переменной t по формуле , откуда.
Пример. Найти интеграл
Решение:При нахождении этого интеграла записи самой подстановки можно не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что . Таким образом,
Пример. Найти интеграл
Решение:
или заметим, что , тогда
Пример. Найти интеграл
Решение:
или заметим, что , тогда
Пример. Найти интеграл
Решение:
или заметим, что , тогда
Пример. Найти интеграл
Решение:
или заметим, что , тогда
Пример. Найти интеграл
Решение:
или заметим, что , тогда
Пример. Найти интеграл
Решение:
или заметим, что , тогда