Chast_4_1_l_22-24
.pdf232
ЧАСТЬ 4. МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Лекция 22
Уравнения Максвелла для поля в среде
51. Векторы поляризации и электрического смещения. Постулат Максвелла
Мы приступаем к изучению электромагнитного поля в среде. Начнем с диэлектриков, помещенных в электрическое поле неподвижных зарядов. В
диэлектриках, в отличие от металлов и электролитов, нет зарядов (точнее почти нет), могущих перемещаться на значительные расстояния и переносить ток.
Диэлектрики построены либо из нейтральных молекул (все газообразные и жидкие диэлектрики и часть твердых), либо из заряженных ионов, закрепленных в определенных положениях равновесия (например, в
узлах кристаллической решетки). В целом диэлектрик нейтрален.
Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав диэлектрика, не «срываются» полем со своих мест, а лишь несколько смещаются из положения равновесия в некоторые новые равновесные положения. Говорят, диэлектрик поляризуется.
Это его новое состояние можно характеризовать в каждой точке вектором поляризации. Вектор поляризации это электрический момент единицы объема диэлектрика, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi ri |
|
|
|
|
|
pi |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
P |
|
или |
P |
|
(4.1) |
|||||
|
V |
|
|
V |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.1. Диэлектрик в электрическом поле
233
qi ri – дипольный или электрический момент зарядов, расположенных в
i
физически бесконечно малом объеме V ; pi – дипольный момент i-ой молекулы. Заряды диэлектрика будем считать неподвижными.
Под напряженностью электрического поля внутри диэлектрика будем понимать усредненное значение истинной напряженности по физически
бесконечно малому объему |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
dV . |
(4.2) |
|
Е |
E |
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
V |
|
||||
|
|
|
|
V |
|
В дальнейшем нам придется находить уравнения для макроскопических (усредненных) величин, исходя из уравнений для микроскопических величин. При этом нам придется пользоваться следующими равенствами
|
|
|
и |
|
|
. |
x |
|
x |
|
t |
|
t |
Второе равенство сразу следует из (4.2). Докажем первое:
Среднее значение в точках М и М´ равно:
М |
1 |
dV , М |
1 |
dV . |
|
V |
|||
|
V V |
V |
Здесь V и V - два одинаковых шара, центры которых смещены вдоль х на величину x (рис. 4.2).
Рис. 4.2. К выводу равенства для производных по координате
234
|
|
М |
lim |
|
|||
|
|||
x |
ММ 0 |
Но dV dV
V V
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
dV |
||
М |
М |
1 |
|
|
V |
V |
|
|
||||
|
|
|
|
lim |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
ММ |
|
V x 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
dV ; |
|
|
|
|
|
|||||
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
dV dS x cos n ,ex ; |
cos n ,ex 0 ; |
dV dS x cos n ,ex ; |
cos n ,ex 0 . |
Поэтому
dV dV x cos n ,ex dS .
V V S
|
x |
|
Ì |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
cos |
|
n ,e |
|
dS . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dV |
1 |
|
|
div ex dV |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
V |
V |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
V |
x |
|
|
|
V |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n ,ex dS , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ex |
n dS |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
V |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. Здесь была использована математическая теорема Гаусса-Остроградского.
В отсутствии диэлектриков
div E своб .
0
Внутри диэлектрика для микроскопических величин
div E своб связ
0 0
Здесь своб и связ соответственно плотность свободных и связанных зарядов.
Возьмем среднее по физически бесконечно малому объему V от левой и правой частей с использованием только что доказанного свойства
235
div |
|
|
своб |
связ . |
E |
||||
|
|
|
0 |
0 |
Мы обозначим E E , своб , а связ выразим через P .
Выделим в диэлектрике объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Диэлектрик в поле точечного заряда
Поверхность S пересечет некоторое число молекул так, что одни из зарядов этих молекул окажутся вне объема V, а другие внутри него. Поэтому в V
может оказаться суммарный связанный заряд. Найдем его.
Рис. 4.4. «Перерезание» диполей элементарной площадкой S
Элемент S пересечет все те диполи, центры которых расположены в прилегающем к нему слое толщины l cos l n (рис. 4.4)
P p N p N ql .
Здесь N – число диполей в единице объема. Следовательно, число диполей,
рассекаемых элементом S
N S l cos l n
Нескомпенсированный заряд, в объеме V за счет этого пересечения:
q N ql S cos l n P S cos P n Pn S .
Следовательно:
q Pn S P S .
236
Суммарный связанный заряд, попавший внутрь замкнутой
поверхности:
qсвяз |
|
dS div |
|
|
P |
PdV . |
|||
S |
|
V |
Здесь использована математическая теорема Гаусса-Остроградского.
С другой стороны:
qсвяз связdV |
1 |
связ dV V связ V связdV , |
||
V |
||||
V |
V |
V |
||
|
т.е.:
qсвяз связdV .
V
Отсюда связ divP . Поэтому:
div E divP ,
0 0 div 0E P .
По определению сумма 0E P называется вектором электрического смещения и обозначается через D .
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
E |
P |
D |
(4.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
div |
|
|
|
|
|
||||||
D |
(4.4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– постулат Максвелла в дифференциальной форме.
|
|
|
|
dV |
|
D |
dS |
(4.5) |
SV
–постулат Максвелла в интегральной форме.
Очевидно, чем больше напряженность электрического поля в диэлектрике, тем больше он поляризуется, т.е. тем больше вектор поляризации P :
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
P |
E |
(4.6) |
|||||
Коэффициент называется |
|
|
электрической восприимчивостью |
или |
||||
поляризуемостью диэлектрика. |
Для некристаллических диэлектриков |
– |
237
скаляр, для некоторых диэлектриков зависящий от E ( E ). В этом
случае:
D 0E P 0E E 0 E .
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 r |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
D |
E |
|
, |
D |
E |
|
|
|
(4.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это материальное уравнение |
|
для электрического |
поля |
в |
среде. |
||||||||||||
называется диэлектрической проницаемостью среды, |
r |
|
|
|
– |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Для кристаллических диэлектриков в выражении (4.6) является тензором, т.е.:
Px xx Ex xy Ey xz Ez ,
Py yx Ex yy Ey yz Ez ,
Pz zx Ex zy Ey zz Ez .
В этом случае и в материальном уравнении (4.7) величины и r
будут тензорами.
52. Физический смысл вектора электрического смещения D в
среде
Пусть имеется поляризованный диэлектрик. В некоторой фиксированной точке М этого диэлектрика в некоторый фиксированный момент времени вектор поляризации P имеет определенную величину и направление (рис. 4.5).
Рис. 4.5. К пояснению физического смысла вектора D
238
Образуем мысленно около точки М физически бесконечно малый дискообразный объем V S l , причем точка М лежит в центре этого
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диска и l |
S . |
|
|||||||||
|
|
В соответствии с принципом суперпозиции представим напряженность |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E в точке М в виде двух составляющих: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.8) |
|
|
|
|
E |
E |
E |
где E создается всеми свободными и всеми связанными зарядами, за исключением связанных зарядов объема V . Тогда E создается связанными зарядами объема V .
Выразим E через P . Для этого изобразим объем V в увеличенном виде (рис. 4.6 слева).
Заряды диполей внутри объема V компенсируют друг друга. Поэтому для расчета поля зарядов объема V можно использовать следующую модель (рис. 4.6 справа).
Рис. 4.6. Поляризованный элементарный объем V в окрестности точки наблюдения М
На правом основании - положительные заряды с поверхностной плотностью
связ , а на левом основании - отрицательные заряды с поверхностной плотностью ( связ ). Других зарядов нет.
Легко находим (так как l S ):
E |
связ . |
(4.9) |
|
0 |
|
239
Для того, чтобы выразить связ через Р, посчитаем электрический момент P V зарядов объема V двумя способами. С одной стороны:
P V P S l ,
что следует из определения вектора поляризации P . С другой стороны:
P V связ S l ,
что следует из определения электрического момента диполя.
Приравнивая правые части последних двух выражений, находим
связ P .
Подставляя теперь последнее выражение для связ в (4.9), получаем:
E P .0
Так как векторы P и E направлены в противоположные стороны, то последнее выражение в векторной форме будет иметь вид:
E P .0
Подставляя последнее выражение для E в (4.8), предварительно умножив его на 0 , находим:
0E 0E P .
Но 0E P D . Следовательно:
D 0E .
Вектор электрического смещения D равен напряженности электрического поля в дискообразной полости (основание диска перпендикулярно P ), умноженной на константу 0 .
Отсюда вытекает способ принципиального измерения вектора электрического смещения D .
Вопросы и задачи к лекции 22
240
246-1. Опишите процесс поляризации диэлектрика.
247-2. Дайте определение вектора поляризации.
248-3. Докажите равенства и .
x x t t
249-4. Выведите постулат Максвелла в дифференциальной форме.
250-5. Выведите постулат Максвелла в интегральной форме.
251-6.Запишите материальное уравнение для электрического поля в диэлектрике.
252-7.Электрическое поле создается точеным зарядом (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Диэлектрический шар в поле точечного заряда
Укажите направление вектора поляризации в точке М (центре диэлектрического шара). Когда будет больше напряженность электрического поля в точке М: при наличии диэлектрического шара или при его отсутствии?
Какой величине будет равна напряженность электрического поля в точке М,
если шар будет проводящим?
253-8.Какой физический смысл вектора электрического смещения D в
диэлектрике? Поясните ответ.
254-9. Задано напряжение между обкладками двухслойного плоского конденсатора U (рис. 4.8). Толщины слоев d1 и d2 , диэлектрические проницаемости соответственно и 0 . Сумма d1 + d2 значительно меньше поперечных размеров конденсатора. Найдите вектор электрического смещения в первом и втором слое D1 и D2 , а также напряженность электрического поля в первом и во втором слое Е1 и Е2 .
241
Рис. 4.8. Двухслойный плоский конденсатор
255-10. Бесконечно длинная прямолинейная нить с зарядом на единицу длины располагается в диэлектрике с проницаемостью (рис.4.9).
Диэлектрик представляет собой бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R. Нить является осью этого цилиндра. Найдите выражение для Е и
D в диэлектрике и в воздухе. Найдите поверхностную плотность связанного заряда связ на боковой поверхности цилиндра.
Рис. 4.9. Бесконечная нить, окруженная слоем диэлектрика
Лекция 23 53. Векторы намагниченности и напряженности магнитного поля.
Закон полного тока в среде
В любой среде существуют микротоки: движение электронов по орбитам, спиновое движение электронов. При внесении вещества в магнитное поле магнитные моменты микротоков приобретают определенную ориентацию (до внесения в магнитное поле они имели хаотическую ориентацию и магнитное поле не создавали), как правило, по магнитному полю. Говорят, что вещество намагничивается. Степень намагниченности вещества в данной точке характеризуют вектором намагниченности. Вектор намагниченности J – это магнитный момент единицы объема вещества
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
k |
, |
|
|
|
m |
|
|||
J |
(4.10) |
|||||
|
|
V |
|
|