Chast_4_2_l_25-27

268

что в объеме V расходуется энергия, поступающая снаружи сквозь

замкнутую поверхность S .

58. Теорема единственности решений уравнений Максвелла

Ранее мы установили, что усредненные векторы электромагнитного поля в тех точках пространства, где имеют смысл первые производные,

удовлетворяют уравнениям

rotH D ,

t

rotE B ,

t divB 0, divD , B H , D E ,

E .

На границах раздела сред первые производные теряют смысл. Вместо

электрического и магнитного поля в любой точке объема V , ограниченного

269

замкнутой поверхностью S , а также касательная компонента электрического

E или магнитного поля H в каждой точке поверхности S и в любой момент времени t , начиная с t0 , то уравнения Максвелла плюс перечисленные условия определяют единственное электромагнитное поле

E , H . Параметры среды , , предполагаются не зависящими от

интенсивности поля, т.е. не зависящими от времени.

Доказательство. Предположим, что существует два различных

решения: E , H (одно решение) и E1 , H1 . (второе решение), каждое из которых удовлетворяет сформулированным выше начальным и граничным

Умножим скалярно первое уравнение на E0 , а второе - на H0 и вычтем из второго уравнения первое

С учетом этого равенство (4.46) можно записать так

Правая часть этого равенства 0 , т.е. неотрицательная. Следовательно,

Вопросы и задачи к лекции 25

276-1. По весьма длинному однородному прямолинейному проводнику кругового сечения протекает постоянный ток. Найти тепловые потери за единицу времени на участке единичной длины, если известна Н –

напряженность на поверхности провода, – удельная проводимость.

271

277-2. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в дифференциальной форме.

278-3. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в интегральной форме. Поясните смысл каждого члена в этой теореме.

279-4. По двухпроводной линии течет постоянный ток i 0 (рис. 4.35).

Приемник электроэнергии находится за сечением рисунка. Найдите направление вектора Пойтинга в точке М, расположенной посредине между проводами.

Рис. 4.35. Двухпроводная линия постоянного тока

280-5. Сформулируйте и докажите теорему единственности решений уравнений Максвелла для электромагнитного поля в среде.

Лекция 26

59. Электростатика. Уравнения и граничные условия для

электростатического поля

Электростатическое поле в среде описывается уравнениями Максвелла

272

M0

M E dl .

M

Уравнения для потенциала:

div E ;

– в общем случае:

Рис. 4.36. К выводу граничных условий для электростатического потенциала на границе раздела двух диэлектриков

E1 E2 1 2 1 2 C .

273

Поскольку пока не выбрана точка нулевого значения потенциала,

потенциал определен с точностью до произвольной константы, то часто принимают С 0 . Тогда

На границе раздела диэлектрика и проводника (рис. 4.37)

Рис. 4.37. К выводу граничных условий для электростатического потенциала на границе раздела диэлектрика и проводника

60. Постановка краевых задач электростатики

В конкретных задачах информация о распределении источников поля

(зарядов) редко бывает полной. Заряды, создающие поле, обычно распределены по поверхностям или объемам материальных тел, причем это распределение само зависит от поля и поэтому неизвестно.

Однако знать распределение зарядов не обязательно. Возможно задание других условий, достаточных для определения поля. Эти условия составляют краевую задачу.

Постановка краевой задачи складывается из трех этапов:

1.Рациональный выбор искомой функции, описывающей электростатическое поле.

2.Запись дифференциальных уравнений для всех областей, в которых поле неизвестно.

274

3. Запись граничных условий на границах раздела областей (сред) и на бесконечности.

Рассмотрим примеры постановок краевых задач электростатики.

Пример 1. Поле двух заданных точечных зарядов q1 и q2 возмущено проводящим телом, ограниченным замкнутой поверхностью S (рис. 4.38).

Геометрия системы задана. Известен также суммарный заряд проводящего тела qпр . Требуется найти поле вне проводящего тела, т.е. в объеме V2 . (В

объеме V1 поле E равно нулю).

Рис. 4.38. Проводящее тело в поле двух точечных зарядов

Произведена физическая постановка задачи. Выполним математическую постановку задачи, т.е. поставим краевую задачу.

В качестве искомой функции возьмем потенциал, но не результирующий потенциал, а разность между результирующим потенциалом и потенциалом двух точечных зарядов 0 :

0 .

Очевидно, потенциал 0 легко вычисляется:

275

Граничные условия для на поверхности S вытекают из граничных условий на этой поверхности для результирующего потенциала и

выражения для потенциала 0 .

на S С ,

где С - пока неизвестная константа. Поэтому:

Второе граничное условие на S выражает заряд проводящего тела qпр

через значения нормальной производной потенциала на поверхности S . По теореме Гаусса:

говоря, записать условие на бесконечности. Им будет следующее условие:

276

где r0M – расстояние от точки О, взятой где-либо внутри системы, до точки

М.

Условия (4.55) – (4.58) составляют краевую задачу, поставленную для рассматриваемой физической задачи.

Если условия (4.55) – (4.58) записаны правильно, т.е. в соответствии с законами электродинамики, то существование решения задачи (4.55) – (4.58)

не вызывает сомнения.

Однако единственность решения краевой задачи в каждом конкретном случае требует доказательства. Это не всегда просто. Неединственность может возникнуть из-за того, что условия краевой задачи являются неполными.

Пример 2. Необходимо найти электростатическое поле между двумя замкнутыми проводящими оболочками S1 и S2 (рис. 4.39). Между этими оболочками поддерживается напряжение u . Объем между этими оболочками обозначим через V .

Рис. 4.39. Две замкнутые проводящие оболочки

Примем потенциал второй оболочки равным нулю (выбор точки нулевого значения потенциала):