Chast_3_2_l_19-21
.pdf204
u dr , dt0
где dt0 - собственное время.
ux |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
vx |
|
|
|
|
, uy |
|
|
|
vy |
|
|
|
, |
uz |
|
vz |
|
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
v2 |
|
|
dt |
1 |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
c2 |
c2 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
ic dt |
|
|
|
|
|
|
ic |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt0 |
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
Здесь v – скорость частицы, а не скорость системы О' относительно системы О.
Легко убедиться в том, что
u2 ux2 u2y uz2 u2 c2 .
4-вектор скорости является времениподобным вектором.
4-вектор ускорения:
w du . dt0
Можно показать непосредственным вычислением, что w2 0 .
4-вектор ускорения – пространственно подобный вектор. Имеем u2 c2 .
Продифференцируем по собственному времени
2 u du 2u w 0. dt0
u и w ортогональны между собой в четырехмерном пространстве.
46. Уравнения динамики материальной точки
Закон инерции Ньютона является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Если в некоторой инерциальной системе отсчета О частица движется неускоренно, то при переходе к другой инерциальной
205
системе О' движение ее также останется неускоренным. Это следует из формул
преобразования скоростей Эйнштейна.
Для нахождения релятивистски-инвариантной формы уравнений динамики (второго закона Ньютона) их необходимо представить в виде соотношений типа a b , где a и b – четырехмерные векторы.
Инерционные свойства тела или частицы можно охарактеризовать некоторым скаляром – инвариантной массой или массой покоя m0 . Значение массы покоя является константой, характерной для каждого вида элементарных
частиц. 4-импульс частицы p |
определим как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p m0u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В компонентах имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m v |
x |
|
|
|
m0vy |
|
|
|
|
m v |
z |
|
|
|
|
|
ic m |
|
|
|
||||||||
px |
0 |
|
|
, py |
|
|
|
|
|
|
, pz |
|
0 |
|
|
|
, |
p |
|
0 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
v2 |
|
1 |
v2 |
|
1 |
v2 |
|
1 |
v2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
c2 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В предельном случае v << c три пространственные компоненты импульса переходят в обычные компоненты импульса частицы
px m0vx , py m0vy , pz m0vz .
Естественным релятивистским обобщением уравнений динамики Ньютона являются уравнения
|
dp |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
F |
; или |
m0 |
F |
, |
m0 w F |
(3.21) |
||
|
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
где F – некоторый четырехмерный вектор, называемый четырехмерной силой или силой Минковского.
Эти уравнения будем называть уравнениями релятивистской динамики.
В компонентах
206
|
dpx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
m0vx |
|
F |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dt |
|
1 v |
2 |
|
|
|
|
dt |
v |
2 |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||||||
|
|
d |
m v |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Fx |
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
v |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В левой части стоит производная от Потребуем, чтобы в правой части стояла Следовательно
импульса по обычному времени.
компонента обычной силы Fx .
|
|
|
|
|
|
F |
|
1 |
v2 |
|
|
|
|
F . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
m0vx |
|
|
|
|
|
Fx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
m0vy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
m v |
z |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fy , |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Fz . |
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
v |
2 |
|
|
|
|
1 |
v |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При v << c формулы превращаются в уравнения Ньютона.
Кратко эти три уравнения динамики можно записать в виде:
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
F |
|
. |
|
|
|
|
|
(3.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для четвертой компоненты имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
ic m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
F |
1 |
|
. |
(3.23) |
|||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|||||||||
|
|
1 |
v |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для нахождения физического смысла компоненты 4-вектора силы F |
|||||||||||||||||||
умножим скалярно уравнения релятивистской динамики на u |
|
207
u |
dm0u |
|
F u 0 |
, т.к. u |
du |
0 . |
|
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
Последнее подчеркнутое равенство через компоненты:
Fxux Fyuy Fzuz F u 0 .
Подставим выражение для F через F:
Fx |
|
|
vx |
|
|
|
Fy |
|
|
vy |
|
|
|
Fz |
|
|
vz |
|
|
|
F |
|
ic |
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
||||||||||
|
|
v |
2 |
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
v |
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v F ic 1 |
v2 |
|
|
|
0 . |
|||||||||||||||||||
|
F |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
F |
|
i |
|
|
|
|
|
|
F v |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя (3.23), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m0c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F v . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F v – есть работа силы, производимой над частицей в единицу времени.
Следовательно, в левой части есть изменение энергии частицы в единицу времени.
Полная энергия частицы
|
|
|
m c2 |
|
|
|||||
|
E |
0 |
|
|
|
|
. |
(3.24) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
v2 |
|
|||||||
|
|
c2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обсудим результаты. Часто |
наряду с массой покоя m0 |
вводят массу |
m v , именуемую релятивистской массой или просто массой и определяемую как коэффициент пропорциональности между p и v
208
|
p m v v , |
|
|
|
|||
где |
m v |
|
m0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
v2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
c2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Релятивистская масса зависит от скорости и поэтому является функцией не только свойств частицы, но и состояния ее движения. Масса m v не является релятивистски-инвариантной величиной. Масса, измеренная приборами, находящимися в различных инерциальных системах отсчета,
движущихся друг относительно друга, будет различной.
Из выражения для полной энергии и для компонент импульса следует:
p i Ec .
С помощью этого соотношения импульс и энергия оказываются объединенными в один 4-вектор, который можно назвать 4-вектором энергии и импульса
|
E |
|
p px , py , pz ,i |
|
. |
|
||
|
c |
Компоненты 4-вектора энергии и импульса не являются релятивистски-
инвариантными. Как трехмерный импульс, так и энергия являются относительными величинами. Они преобразуются так:
|
|
E |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
px |
px |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
v2 |
; |
py py |
; |
|
|
pz pz ; |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p c |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
E |
|
|
|
|
vpx |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти соотношения показывают, что при преобразованиях Лоренца энергия и компоненты импульса выражаются друг через друга.
209
Инвариантной величиной является не энергия и импульс порознь, а как всегда квадрат 4-вектора, т.е. величина
p2 |
p2 |
p2 |
p2 |
p2 |
p2 |
p2 |
p2 |
|
E2 |
in var . |
|
||||||||||
|
x |
y |
z |
|
x |
y |
z |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения для px , py и pz , получим:
m2v2 |
m2v2 |
m2v2 |
|
m |
2 |
c |
2 |
|
|
m02 v2 c2 |
|
|||
0 x |
0 y |
0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 c2 . |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v2 |
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
v2 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
c2 |
|
|
c2 |
|
|
c2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, 4-вектор энергии и импульса является времениподобным вектором.
Предыдущее выражение можно записать в виде
p2 E2 m2 c2 .
c2 0
Отсюда получаем следующую связь между энергией и трехмерным импульсом
E p2c2 m02 c4 .
Отсюда, если масса покоя частицы m0 0 (например, фотон), то
E pc .
Обратимся к энергии. Если скорость частицы равна нулю, то ее полная
энергия E m c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иногда вводят кинетическую энергию: |
|
|
|
|||||||
|
E Е m c2 mc2 m c2 |
m m c2 . |
|
|||||||
|
|
|
кин |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
Найдем разность m m0 : |
|
|
|
|
||||||
m2 |
m02 |
; |
m2c2 m2v2 |
m2 c2 ; |
m2 m2 |
c2 |
m2v2 . |
|||
|
||||||||||
|
|
v |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда
210
|
m m0 |
|
|
m2v2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
m |
m |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eкин |
m2v2 |
|
|
|
|
m2v2 |
|
|
|
|
|
mv2 |
|
. |
||||||||
m m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m m 1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
c2 |
c2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда при v << c
Eкин m0v2 . 2
При записи выражения для энергии частицы (3.24) можно было записать более общее выражение
|
m c2 |
|
|
|
||
E |
0 |
|
|
|
const . |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
v2 |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
c2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Константу, на первый взгляд, необходимо было бы выбрать из соображений, что при v = 0 (здесь v – скорость движения частицы) энергия частицы должна быть равна нулю. Тогда константа получилась бы равной
m0c2 . Однако, константа была взята равной нулю. При этом приняты
следующие соображения: формулы преобразования для импульса должны переходить в формулы преобразования скоростей Галилея при u << c (u –
скорость движения частицы) и v << c (v – скорость движения системы О'
относительно системы О).
Имеем:
|
|
E |
v |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
px |
px |
c2 |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v2 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
c2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(Здесь v – скорость движения системы О' относительно системы О).
Если E m0c2 при u << c, то при v << c получим:
211
pp m v .
xx 0
Отсюда
uu v .
xx
Если бы константа в выражении для энергии была принята равной
( m c2 ), то последняя формула (формула преобразования скорости Галилея) не |
|
0 |
|
получилась бы. |
|
После введения релятивистской массы для энергии можно записать |
|
выражение: |
|
E mc2 . |
(3.25) |
Эту формулу называют формулой Эйнштейна или законом эквивалентности массы и энергии.
Если силы на частицу не действуют, то из формулы dEdt F v
следует, что Е = const (закон сохранения энергии).
Если силы на частицу не действуют, то из закона динамики материальной точки (3.22) следует, что p const (закон сохранения импульса).
Из формулы Эйнштейна следует закон сохранения релятивистской массы m v const .
Один закон – закон сохранения энергии или релятивистской массы. Т.е.
из формулы Эйнштейна следует, что одновременно с законом сохранения энергии автоматически имеет место закон сохранения релятивистской массы.
Вопросы и задачи к лекции 19
206-1. Что такое четырехмерный радиус-вектор?
207-2. Дайте определение четырехмерного вектора.
212
208-3. Что такое: 1) пространственно подобный вектор?
2) времениподобный вектор?
209-4. Дайте определение четырехмерного вектора скорости. Запишите выражения для компонент этого вектора.
210-5. Дайте определение четырехмерного вектора ускорения.
211-6. Первые три компоненты четырехмерного вектора скорости равны
2 108 м / с , 1,73 108 м / с и 0 м / с . Найдите четвертую компоненту u .
212-7. Покажите, что четырехмерный вектор скорости и ускорения ортогональны в четырехмерном пространстве.
213-8. Покажите, что закон инерции (первый закон Ньютона) является инвариантным относительно преобразований Лоренца.
214-9. Дайте определение четырехмерного вектора импульса. Запишите выражения для его компонент.
215-10. Запишите уравнения динамики в четырехмерной форме.
216-11. Запишите уравнения динамики для первых трех компонент, а так же в векторном виде.
217-12. Выведите выражение для полной энергии частицы. Объясните,
почему константа в общем выражении для энергии выбрана равной нулю.
218-13. Выведите выражение для кинетической энергии частицы при произвольной скорости движения.
219-14. Что такое четырехмерный вектор энергии и импульса?
220-15. Запишите формулы преобразования компонент трехмерного импульса и энергии при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
221-16. Найдите квадрат четырехмерного вектора энергии и импульса.
Времениподобный или пространственно подобный этот вектор?
222-17. Запишите выражение для полной энергии частицы через ее трехмерный импульс. Каково это выражение для энергии в случае, если масса покоя m0 0 .
213
223-18. Запишите формулу Эйнштейна (закон эквивалентности массы и энергии).
224-19. Запишите формулы преобразования массы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
225-20. Выведите закон сохранения энергии и закон сохранения трехмерного импульса.
Лекция 20
47. Электродинамика теории относительности. Релятивистски-
инвариантная формулировка закона сохранения заряда
В основу релятивисткой электродинамики положены предположения об инвариантности и сохранении электрического заряда. Это соблюдается во всех физических процессах.
Закон сохранения заряда в интегральной форме (2.21):
|
|
|
|
|
|
dQ |
. |
|
|
dS |
|||||||
|
||||||||
S |
|
|
|
|
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
Разделив на объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S, и прейдя к пределу при V 0 , получим закон сохранения заряда в дифференциальной форме:
div |
|
0 . |
(3.26) |
t |
Для придания закону сохранения заряда релятивистко-инвариантной формы, его следует записать в четырехмерной форме.
Для этого необходимо ввести четырехмерный вектор плотности тока .
Введем его так:
x , y , z ,ic . |
(3.27) |
Здесь ic .