Chast_4_3_l_28_29
.pdf312
отношению к последнему (в электростатике фиктивный заряд
противоположен по знаку исходному заряду).
Магнитное поле в верхнем полупространстве эквивалентной задачи может быть найдено с помощью принципа суперпозиции и закона полного тока в интегральной форме. Это и будет магнитное поле в верхнем
полупространстве исходной задачи.
Метод интегральных уравнений проиллюстрируем на рассмотренной ранее задаче: магнетик с постоянной магнитной проницаемостью
расположен в заданном магнитном поле H0 (рис. 4.57, поле H0 создается проводящим контуром l с током i ).
Если в системе дифференциальных уравнений (4.106), имеющей место
в магнетике, последнее уравнение записать в более общем виде |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 H |
0 J , |
(4.125) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где J - вектор намагниченности внутри магнетика, то остальные уравнения |
|||||||||||||||
этой системы с учетом (4.125) можно записать в виде: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
(4.126) |
||||||
|
|
|
|
rot H |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
div H |
div J . |
(4.127) |
Система (4.126), (4.127) по форме совпадает с уравнениями для электростатического поля зарядов в вакууме (2.101), поэтому введем
обозначение |
|
||||||
div |
|
|
|
|
м , |
|
|
J |
(4.128) |
||||||
а систему (4.126), (4.127) запишем так |
|
||||||
|
|
|
|
0, |
|
||
rot H |
(4.129) |
||||||
|
|
м . |
|
||||
div H |
(4.130) |
||||||
Здесь м - плотность (фиктивная) магнитных зарядов. |
|
||||||
Для рассматриваемой задачи внутри магнетика const |
(рис. 4.57), |
||||||
поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
313 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
B |
|
B |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
м div J div |
H |
div |
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
div |
|
B |
|
|
divB 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
0. Следовательно, |
|
|
||||||||||||
т.к. divB |
|
магнитные заряды в объеме магнетика |
отсутствуют.
Покажем, что магнитные заряды существуют на поверхности S
магнетика. Выражение (4.128), очевидно, в интегральной форме может быть записано так:
|
|
|
|
|
м dV . |
(4.131) |
|
J |
dS |
||||
S1 |
|
|
|
|
V1 |
|
Здесь объем V1 ограничен замкнутой поверхностью S1 . Применив это выражение к дискообразному объему V1 , взятому в окрестности точки,
лежащей на S (рис. 4.61), получим:
Рис. 4.61. К выводу выражения для поверхностной плотности магнитных
зарядов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.132) |
|||||
|
|
Jn Sосн. м Sосн. . |
|||||||||||||
Здесь м - поверхностная плотность магнитных зарядов на поверхности S . |
|||||||||||||||
Из (4.132) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
м Jn |
. |
|
|
(4.133) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь магнитное поле H в рассматриваемой задаче (рис. 4.57) можно |
|||||||||||||||
записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M |
1 |
|
м P rPM |
dSP . |
|
|||||
H |
M H0 |
(4.134) |
|||||||||||||
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
rPM3 |
|
314
По аналогии с электростатикой (формулы (4.101) и (4.102) лекции 28)
из (4.134) можно получить следующие выражения для предельных компонент напряженности магнитного поля на границе S :
Hn Q H0n Q |
1 |
|
м P rPQ nQ |
|
м |
Q |
|
|
|||
|
|
|
dSP |
|
|
, |
|||||
4 |
rPQ3 |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
м P rPQ nQ |
|
|
|
|
Q |
(4.135) |
|
Hn Q H0n Q |
|
1 |
|
dSP |
|
м |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
rPQ3 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
Здесь знаком «+» обозначена внутренность S , а знаком «-» внешность S .
Переписав первое из граничных условий в виде
Hn Q 0 Hn Q
иподставив сюда (4.135), получим интегральное уравнение второго рода для поверхностной плотности магнитных зарядов м :
м Q |
|
|
|
м P rPQ nQ |
|
2 |
|
|
H0n Q . (4.136) |
0 |
|
|
|
dSP |
0 |
|
|||
2 0 |
|
rPQ3 |
0 |
|
|||||
|
S |
|
|
Это интегральное уравнение по форме совпадает с интегральным уравнением (4.104) для подобной электростатической задачи. И поэтому все рассуждения об интегральном уравнении (4.104) лекции 28 переносятся на интегральное уравнение (4.136).
После решения интегрального уравнения (4.136) поле H вычисляется по формуле (4.134).
Вопросы и задачи к лекции 29
301-1. Запишите уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах для магнитного поля стационарных токов.
302-2. Запишите граничные условия на границе раздела двух сред для магнитного поля стационарных токов.
315
303-3. Получите дифференциальные уравнения и граничные условия для векторного потенциала магнитного поля стационарных токов.
304-4. Получите дифференциальные уравнения и граничные условия для скалярного магнитного потенциала магнитного поля стационарных токов.
305-5. Как изменится постановка краевой задачи, описанной в лекции,
если вместо const положить ?
306-6. Сформулируйте теорему эквивалентности для магнитного поля стационарных токов.
307-7. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R расположен в поле прямолинейного бесконечно длинного проводника с током i (рис. 4.62).
Проводник параллелен оси цилиндра. Расстояние от проводника до оси цилиндра r . Магнитная проницаемость материала цилиндра . Найдите магнитное поле H вне цилиндра методом зеркальных отображений.
Рис. 4.62. Ферромагнитный цилиндр с в поле прямолинейного проводника с током
308-8. Решите предыдущую задачу методом интегральных уравнений.
Лекция 30
68. Расчет магнитного поля постоянных магнитов при известном
распределении вектора намагниченности
Постоянный |
магнит |
представляет |
собой |
ферромагнетик, |
намагниченность которого не убывает до нуля после снятия внешнего
магнитного поля.