Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям: .

Приведем наиболее часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида ,

,

,

Где - многочлен степениn, k – некоторое число. Чтобы найти

эти интегралы, достаточно обозначить и применить формулы интегрирования по частямn раз.

2. Интегралы вида ,

,

,

,

,

где - многочлен степениn, k – некоторое число. Их можно найти по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при .

Пример. Найти интеграл .

Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим x и так как х – многочлен первой степени, то формулу интегрирования по частям будем применять один раз.

Пример. Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим и так как –многочлен второй степени, то формулу интегрирования по частям будем применять два раза.

Пример. Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится ко второму типу интегралов, за u обозначим .

Пример. Найти интеграл

Решение: Данный интеграл относится к второму типу интегралов за u обозначим .

Задачи для самостоятельной работы

1) – 40) Найти интегралы:

1) . 2) .

3) . 4).

5). 6) .

7) . 8).

9) . 10)

11) . 12) .13) .

14) . 15). 16).

17) . 18) . 19)

20) 21) 22)

23) 24) 25)

26) . 27) 28)

29) 30) 31)

32) 33)34)

35) 36)37).

38) 39)40)

Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающие независимую переменную х, искомую функцию и ее производные.

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

или .

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, уравнение есть уравнение первого порядка, а уравнениеесть уравнение второго порядка.

Определение: Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. Каждый интеграл определит на плоскостихОу кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1).

Решив уравнение (1) относительно , если это возможно, получим:

(2).

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постояннуюС и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значенииС.

2. Каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решенияпри конкретном значении постоянной.

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых плоскостиОху; частное решение - одна кривая этого семейства, проходящая через точку.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2).

Теорема (Коши). Если в уравнении функцияи ее частная производнаянепрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей точку, то существует единственное решениеэтого уравнения, удовлетворяющее условию.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку .