Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

CHast_2_tur.doc

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

893.95 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Производная

Определение: Производной функции в точкех называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции; функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке.

Эквивалентные обозначения производной:

Основные правила дифференцирования:

1. .

Таблица производных:

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7..

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Пример. Найти производную функции .

Решение: .

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение: .

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция от функции.

В записи x называется независимой переменной,

u – промежуточным аргументом; u(x) – внутренняя функция;

f – внешняя функция.

Производная сложной функции равна производной от внешней функции по промежуточному аргументу, помноженной на производную внутренней функции:

Таблица производных для сложных функций:

1. . 1.1..

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Во всех формулах u является некоторой функцией от х.

Пример. Найти производную функции .

Решение: Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых» функций , где. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение: .

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Пример. Найти производную функции

Решение:

Задачи для самостоятельной работы

1–50. Вычислить производные от заданных функций:

Указание: Студентам не рекомендуется увлекаться упрощением выражений, полученных в результате дифференцирования, так как основная цель этой главы заключается в освоении техники дифференцирования, а не в проверке умения производить тождественные преобразования.

1) . 2) .

3) . 4).

5) . 6) .

7) . 8).

9) . 10).

11) . 12).

13) . 14).

15) . 16).

17) . 18).

19) . 20).

21) . 22).

23) . 24) .

25) . 26).

27) . 28).

29) . 30).

31) . 32).

33) . 34).

35) . 36).

37) . 38).

39) . 40).

41) . 42).

43) . 44).

45) . 46).

47) . .48).

49) . 50).

Неопределенный интеграл

Определение: Неопределенным интегралом называется функция, содержащая произвольное постоянноеС, дифференциал которой равен подынтегральному выражению ,

т.е , если .

Основные свойства неопределенного интеграла

1. .

2. .

3. .

Таблица основных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6..

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

Примеры: Найти интегралы:

1) ;

2) .

Решение: 1) Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:

2) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:

Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интегралепеременнуюх заменяют переменной t по формуле , откуда.