Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-1 Основн_ означення
.doc
Глава 6
Ряди
6.1. Основні означення, необхідна умова збіжності ряду
Нехай задана послідовність дійсних чисел . Числовим рядом називається послідовність дійсних чисел .
Числа та називаються відповідно м членом (загальним членом) та частковою сумою ряду.
Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує і скінчена, називається сумою ряду та позначається символом . Ряд, що має суму, називається збіжним. Не збіжний ряд називається розбіжним.
Як ми бачимо, на відміну від теорії послідовностей, послідовність часткових сум може збігатися до нескінченності (тобто в наших визначеннях з теорії послідовностей бути збіжною), але відповідний числовий ряд вважається розбіжним. Дуже рідко, в особистих випадках, про такий ряд можемо сказати, що він збігається до нескінченності.
З означення ряду слідує, що будь-яка послідовність дійсних чисел може розглядатися як деякий ряд, членами якого є числа .
Приклад 1. |
Дослідити на збіжність ряд , де: а) ; б) ; в) . |
|
а) ряд збіжний та має суму ; б) ряд розбіжний (збігається до нескінченності, але цей термін вживається дуже рідко); в) послідовність - розбіжна, а тому й ряд - розбіжний. |
Теорема 1. |
(Необхідна умова збіжності ряду) |
|
Якщо ряд збігається, то послідовність його загальних членів прямує до нуля. |
Доведення. Якщо - збіжний, то послідовність його часткових сум має границю, позначимо її як . Але тоді .
Теорема доведена.
Теорема 2. |
(Критерій Коші) |
|
Ряд збігається тоді і тільки тоді, коли : . |
Доведення теореми безпосередньо слідує із застосування критерію Коші для послідовності часткових сум .
Вже тут можна побачити, що багато тверджень можна формулювати як в термінах теорії послідовностей так і в термінах теорії рядів. Один з прикладів вже наведений вище – це критерій Коші. Наведемо невелику таблицю, в якій терміни, що відповідають один одному в цих теоріях, наведені в одному рядку.
Теорія рядів |
Теорія послідовностей |
Ряд |
Послідовність |
Член ряду |
Різниця між членами послідовності |
Часткова сума ряду |
Член послідовності |
Сума ряду |
Границя послідовності |
Збіжний ряд |
Збіжна послідовність |
Згрупований ряд |
Підпослідовність |
Сума згрупованого ряду |
Часткова границя послідовності |
Ряд, що задовольняє умову Коші |
Фундаментальна послідовність |
Ряд, що має обмежені часткові суми |
Обмежена послідовність |
Ряд з невід’ємними (додатними) членами |
Неспадна (зростаюча) послідовність |
Цю таблицю далі можна буде розширити, при поглибленні вивчення теорії рядів. Крім того її можна продовжувати далі штучним чином. Вільний перехід з однієї мови на іншу в деяких випадках може повністю або частково спростити доведення тієї чи іншої теореми.
Приклад 2. |
З’ясувати, чи можна в довільному ряді згрупувати доданки таким чином (тобто, не міняючи порядку членів ряду, розставити дужки), щоб одержаний ряд мав суму в ? |
||
|
Безпосереднє доведення цієї теореми в теорії рядів досить не проста задача, але тепер пере формулюємо цю теорему в термінах теорії послідовностей. |
||
|
|
Чи можна з довільної числової послідовності виділити підпослідовність, що збігається в ? |
|
|
Ну а це вже відома теорема з теорії послідовностей, відповідь на це запитання позитивна, а тому й відповідь на перше запитання також позитивна. Таким чином теорема доведена. |
Однак цілком зрозуміло, що є твердження, які природніше формулювати в термінах лише однієї мови, або навіть вони зовсім не формулюються в термінах іншої мови. Одним з прикладів такого твердження є теорема Рімана, з якою ми познайомимось пізніше. Будуть також твердження, що формулюються на мішаній мові, тобто з використанням термінології теорії рядів та теорії послідовностей, наприклад, теореми Абеля та Діріхле.
Ряд називається залишком ряду .
Наслідок. |
(Про залишок числового ряду) |
|
Ряд збігається чи розбігається одночасно з своїм залишком. Якщо ряд збігається, то його залишок збігається до нуля. |
Доведення. Якщо ряд збіжний і його сума , тоді , де послідовність як раз і є залишком цього ряду. З відомої теореми з теорії послідовностей слідує, що . Аналогічно розглядається випадок розбіжного ряду.
Наслідок доведено.
Із зв’язку рядів та послідовностей легко доводиться наступна теорема.
Теорема 3. |
(Лінійність збіжних рядів) |
|
Нехай ряди та збігаються, , тоді ряд також збігається, та для його суми виконується рівність: . |