Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-5 Поточкова зб_жн_сть ФП

2

Глава 6

Ряди

6.5. Функціональні послідовності та ряди.

Поточкова збіжність. Рівномірна норма

Відображення , де - множина всіх функцій називається функціональною послідовністю (ФП). Значення відображення називається м членом, та будемо її позначати .

В подальшому, якщо про це не сказано додатково, в цьому розділі будемо вважати, що усі функції визначені на спільній множині .

Функціональна послідовність називається поточково збіжною до функції , якщо . Будемо це позначати як . У випадках, коли важливий сам факт поточкової збіжності ФП, а не гранична функція, будемо це позначати як .

Функціональна послідовність називається функціональним рядом (ФР), якщо існує така функціональна послідовність , для якої виконується умова: . Такий функціональний ряд будемо позначати . Значення називається частковою сумою ФР , а функція її загальним членом (м членом) функціонального ряду.

Поточковою сумою ФР на множині називається поточкова границя його часткових сум, якщо вона існує. ФР називається поточково збіжним на , якщо його поточкова сума існує та скінчена в кожній точці множини .

Якщо ФР збігається до деякої функції , то будемо це позначати , якщо важливий сам факт збіжності ряду, то позначатимемо це так: . Поточкову суму ряду, якщо вона існує будемо позначати .

ФП завжди можна розглядати як ФР , .

Для функції число називається рівномірною нормою функції та позначається .

Теорема 1.	(Про рівномірну норму функції)
	Для сукупності функцій, що мають областю визначення множину , рівномірна норма функцій є нормою.

Доведення. Перевір оми аксіоми норми. Її невід’ємність очевидна.

1) .

2) - очевидно.

3) , далі переходимо до супремуму і одержуємо нерівність трикутника.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Про обмежену функцію)
	Функція обмежена тоді і тільки тоді, коли .

Доведення безпосередньо слідує з означення супремуму. : .

Теорема 3.	(Рівномірна норма добутку)
	Нехай , , якщо , то .

Доведення. , а далі знову переходимо до супремуму.

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Про рівномірну норму композиції)
	Якщо , то виконується рівність: , де - звуження функції на множину .

Доведення. Нехай та . Тоді , де звідки й слідує твердження теореми.

Теорема доведена.