Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-7 Диференц_ювання та _нтегрування РФ
.docГлава 9
Ряд та інтеграл Фур’є
7. Диференціювання та інтегрування рядів Фур’є
Функція називається абсолютно неперервною на (АНФ), якщо таке, що для будь-якої системи попарно неперетинаючихся проміжків , , що належать з сумою довжин менше за виконується нерівність: .
Властивості: |
(АНФ) |
1. |
В означенні АНФ замість скінченої кількості проміжків можна взяти їх злічену кількість. |
2. |
Будь-яка АНФ є ФОВ. |
3. |
Множина АНФ утворюють лінійний простір. |
4. |
АНФ може бути поданою як різниця двох неспадних АНФ. |
5. |
Якщо , то функція є АНФ. |
6. |
Якщо - АНФ, то її похідна є інтегрованою за Ріманом на функцією і . |
Теорема 1. |
(Похідна АНФ та її РФ) |
|
|
Якщо АНФ і - періодична, то формально про диференційований її РФ збігається з РФ для функції , тобто. |
|
|
|
(1) |
Доведення. Знайдемо відповідний коефіцієнт, інтегруючи частинами:
.
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(та похідна РФ) |
|
|
Якщо - періодична функція -диференційована, а її -ша похідна є АНФ на , то формально про диференційований разів РФ функції збігається з РФ функції , тобто |
|
|
(2) |
Наслідок 2. |
(та похідна РФ) |
|
Якщо - періодична функція неперервна на разом із своїми похідними до -го порядку включно, а кусково неперервна на , то РФ можна почленно диференціювати не менше як разів і разів про диференційований РФ буде збігатися до . |
Нехай далі . Покладемо . Тоді для таким чином визначених функцій мають місце властивості.
Теорема 2. |
(Періодичність первісної) |
|
Функція - періодична тоді і тільки тоді, коли , тобто вільний член РФ функції дорівнює нулеві. |
Доведення слідує з тотожності: .
Теорема 3. |
(Коефіцієнти Фур’є первісної) |
|
Якщо функція - періодична, то і . |
Доведення слідує з формального інтегрування частинами.
Наслідок. |
(Збіжність РФ первісної) |
|
Якщо і , то формально про інтегрований РФ функції збігається рівномірно. |
Доведення слідує з теорем Харді.