Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-2 Перетворення Фур'є

2

Глава 9

Ряд та інтеграл Фур’є

2. Перетворення Фур’є

Якщо для функції функції обчислюються за формулами

, , (1)

то тригонометричний інтеграл

(2)

називається інтегралом Фур’є (або повторним інтегралом Фур’є) функції .

Його так само можна записати в комплексній формі:

, (3)

де

, (4)

при цьому зрозуміло, що мають місце рівності

, . (5)

Функція називається перетворенням Фур’є (показниковим перетворенням Фур’є), а функції , що обчислені за формулами (1) називаються відповідно косинус та синус перетворенням Фур’є.

Покладемо

, (6)

тоді інтеграл (3) набуває вигляду

, (7)

тоді функція називається симетричним перетворенням Фур’є функції .

Теорема 1.	(Рімана-Лебега)
	Якщо , тобто інтегрована за Ріманом на дійсній осі в невласному розумінні, то

Без доведення.

Наслідок 1.	(Синус та косинус перетворення Фур’є на нескінченності))
	Якщо . Тоді косинус та синус перетворення Фур’є функції прямують до нуля при .

Це все слідує із зв’язку трибометричного інтегралу Фур’є та його запису у показниковій формі.

Наслідок 1.	(Синус та косинус перетворення Фур’є на нескінченності))
	Якщо . Тоді косинус та синус перетворення Фур’є функції прямують до нуля при .

Наслідок 2.	(Поведінка інтегралу на нескінченності))
	Якщо , то при .

Доведення. відрізняється лише сталим множником від перетворення Фур’є функції . Зрозуміло, що , а тому цей інтеграл прямує до нуля при .

Наслідок доведено.

Наслідок 3.	(Поведінка коефіцієнтів Фур’є на нескінченності))
	Якщо , то коефіцієнти (а тому і ) прямують до нуля при .

Доведення слідує з попереднього наслідку, якщо покласти в ньому , .

Наслідок доведено.