12

Глава 10

Міра Лебега

3. Вимірні множини

Нехай як і раніше - основний простір, A - деяка алгебра, на якій визначена міра, - зовнішня міра, що визначається за формулою (2.1) . Більшість з наведених далі тверджень справджуються для будь-яких мір, для доведення інших треба звузити клас мір скінченими.

Множина називається вимірною (ВМ) (вимірною за Каратеодорі), якщо виконується рівність:

(1)

Оскільки , а тому з напівадитивності зовнішньої міри маємо, що , тобто для доведення вимірності деякої множини треба перевіряти лише зворотну нерівність.

Сукупність усіх вимірних множин позначимо A, а звуження зовнішньої міри на A позначимо .

Теорема 1.	(Сукупність вимірних множин)
	Сукупність A вимірних множин утворює алгебру множин, що містить в собі алгебру A. Звуження зовнішньої міри на A є мірою на A (для скінченої міри).

Доведення проводиться в декілька кроків.

Першій крок. Покажемо, що з умови A, то й A. Дійсно, оскільки множина - ВМ, то виконується (1). Запишемо його, замінюючи на , а далі на :

, (2)

. (3)

Додамо останні дві нерівності, тоді з вимірності зліва одержимо , а тому маємо :

(4)

В останній рівності, що справджується замінимо на . Перші три доданки правої частини (4) не зміняться при такій заміні, а останній доданок стане дорівнювати: , а тому остаточно одержимо:

(5)

Порівнюючи (4),(5), одержимо, що :

тобто множина - вимірна.

Другий крок. Оскільки при заміні на рівність (1) не змінюється, а тому з вимірності слідує й вимірність . З перших двох пунктів слідує, що A - алгебра.

Третій крок. Якщо - диз’юнктна система, то рівність (5) набуває вигляду:

, аналогічно для будь-якої скінченої диз’юнктної системи множин :

. (6)

Четвертий крок. Доведемо, що A - алгебра. Нехай нам задана довільна послідовність множин A, яку без обмеження загальності ми можемо вважати диз’юнктною. Для доведення вимірності їх об’єднання достатньо показати, що виконується нерівність :

. (7)

З того, що A - алгебра зрозуміло, що A, тому:

,

з формули (6) та з монотонності зовнішньої міри одержимо:

, (8)

тут ми використали очевидне включення , що справджується , переходимо до границі при , знайдемо:

. (9)

Із зліченої напівадитивності ЗМ, одержимо

,

додаючи до цієї нерівності (9), одержимо (7), тому A, тобто A - алгебра.

П’ятий крок. Доведемо, що на A є мірою. Для цього достатньо показати злічену адитивність на A. Нехай A. Покладемо в (9) , тоді будемо мати , поєднуючи це з зліченою напівадитивністю, одержимо потрібну рівність: .

Шостий крок. Доведемо, що AA. Для цього достатньо показати, що A ця множина – вимірна, тобто виконується нерівність :

. (10)

З визначення зовнішньої міри та властивостей інфінума: A: , при цьому

. (11)

Кожну з множин подамо у вигляді: , кожна множина цього об’єднання входить в A, тому й

,

тоді нерівність (11) набуває вигляду:

. (12)

Крім того,

, ,

звідки означенню зовнішньої міри, маємо:

,

а тому з (12) одержимо:

Внаслідок довільності одержуємо те, що треба.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Існування продовження міри)
	Нехай A - деяка алгебра, - міра на A. Тоді існує алгебра A1A і міра на A1, така що її звуження на A співпадає з (для скінченої міри).

Доведення. Все безпосередньо слідує з попередньої теореми. Побудуємо по мірі зовнішню міру і за A₁ виберемо алгебру A усіх вимірних (за Каратеодорі) множин, а за - міру . Це й буде шуканим продовженням міри.

Теорема доведена.

Нехай A - деяка алгебра, - міра на A. Позначимо A породжену цією алгеброю алгебру (мінімальну), побудуємо продовження міри на A. Таке продовження називають мінімальним продовженням.

Легко показати, що воно існує. Оскільки A A, то можемо покласти , як звуження міри на алгебру A. Очевидно, що міра і що це мінімальне продовження міри .

Якщо - аксіоматично визначена зовнішня міра, то для неї можна визначити аналогічним чином поняття вимірності та вимірної множини. При цьому залишається чинною теорема 1.

Міра , що задана на алгебрі A, називається повною, якщо з умов A, , слідує, що A. Зрозуміло, з монотонності міри, що при цьому .

Теорема 3.	(Про множини нульової міри)
	Нехай - міра на алгебрі A, - її зовнішня міра. Якщо , то множина вимірна й .

Доведення. Для доведення вимірності достатньо показати, що справджується нерівність: , . Оскільки , то з монотонності та невід’ємності міри слідує , аналогічно

, тобто множина вимірна, а далі очевидно, що .

Теорема доведена.

Наслідок.	(Повнота міри )
	Міра , що одержана як звуження зовнішньої міри на алгебру A вимірних множин є повною.

Теорема 4.	(Неперервність знизу)
	Нехай - міра на алгебрі A. Якщо задана монотонно зростаюча послідовність множин A, то .

Доведення. Згадавши подання об’єднання через диз’юнктні множини, одержимо:

_,

_{з урахуванням того, що .}

_{Теорема доведена.}

Теорема 5.	(Неперервність зверху)
	Нехай - міра на алгебрі A. Якщо задана монотонно спадна послідовність множин A, і : , то .

Доведення. Без обмежень загальності можемо вважати, що _{(тобто скінчена), а тому далі за правилами де Моргана легко зведемо задачу до попередньої: , з субтрактивності міри}

, що й треба довести.

Теорема доведена.

Теорема 6.	(Критерій вимірності)
	Нехай - - скінчена міра на алгебрі множин A, - продовження цієї міри на - алгебру вимірних множин A. Тоді множина A - вимірна тоді і тільки тоді, коли A: .

Доведення. Необхідність. З того, що A останню умову можна записати у вигляді . Нехай множина має скінчену міру. З визначення зовнішньої міри A: і

. (13)

Оскільки та , то останню нерівність можна переписати у вигляді: .

Запишемо , справа записана монотонно зростаюча послідовність множин, то з теореми 4 , із збіжності ряду можемо вибрати достатньо великим, щоб виконувалась нерівність:

, (14)

тоді покладемо A і покажемо, що воно шукане, тобто виконується нерівність , для чого достатньо щоб виконувалися нерівності:

, (15.1)

. (15.2)

Оскільки , тому з монотонності, субтрактивності міри та з формули (14) маємо:

, і нерівність (15.1) доведена. Далі, оскільки , то з властивостей міри: , що слідує із співвідношення (13). Таким чином доведена нерівність (15.2), а тому й необхідність доведена.

Достатність. Для скінченої міри усе доводиться доволі просто. Якщо - вимірна за Каратеодорі, то , а тому , що еквівалентно вимірності за Лебегом. Інші випадки цієї теореми пропонуємо довести самостійно.

Теорема доведена.

Система M підмножин простору називається монотонним класом, якщо разом з будь-якою монотонною послідовністю множин вона містить також її границю .

Лема 1.	(Кільце – монотонний клас)
	Якщо кільце множин R є монотонним класом, то R - -кільце.

Доведення. Виберемо довільну послідовність множин R, побудуємо монотонно зростаючу послідовність множин , з того, що R - монотонний клас, слідує, що R, що й треба було довести.

Лема доведена.

Теорема 7.	(Про мінімальний монотонний клас)
	Нехай R - деяке кільце. Позначимо через R породжене кільцем R -кільце, а через R - мінімальний монотонний клас, що містить R. Тоді RR.

Доведення. Оскільки R містить усі можливі злічені об’єднання, а R лише об’єднання монотонних послідовностей, то RR. Якщо ми покажемо, що R - кільце множин, то з леми одержимо, що R - також -кільце. Тоді оскільки R - мінімальне -кільце, що містить R, то RR, з чого й буде слідувати потрібна рівність. Тобто залишається показати, що R - кільце множин.

Першій крок. Зафіксуємо множину та розглянемо клас множин R. З симетричності визначення відносно слідує, що з умови слідує .

Другий крок. Покажемо, що - монотонний клас. Нехай дана зростаюча послідовність множин , покажемо, що . З означення границі зростаючої послідовності: R, аналогічно R і

R, оскільки послідовність - спадна з монотонного класу R. Тому . Повністю аналогічно цеж саме перевіряється для монотонно спадної послідовності , тобто, що й . Тому - монотонний клас.

Третій крок. Нехай R. Покажемо, що R. Спочатку покажемо, що R. Нехай R. З того, що R - кільце слідує, що R, а тому й R, тобто . Таким чином R, тобто - монотонний клас, що містить R. Оскільки R - мінімальний подібний клас, то R.

Четвертий крок. Якщо R, то R. Для доведення візьмемо довільну множину R, тоді за доведеним на третьому кроці одержимо, що R. Оскільки R, то , то з доведеного на першому кроці . Таким чином R, а тому й R.

П’ятий крок. Покажемо тепер заключне, що R - кільце. Нехай R. Оскільки R, то з доведеного на четвертому кроці R, зокрема . Але тоді з визначення слідує, що R, тобто R - кільце.

Теорема доведена.

Теорема 8.	(Про єдиність мінімального продовження міри)
	Нехай A - деяка алгебра, A - -алгебра, породжена алгеброю A. Нехай на A визначені дві міри - . Якщо ці міри співпадають на A, то .

Доведення. Треба показати, що A: . Якщо A, то це слідує з умов теореми. Якщо A, то AA. Тому A є границею монотонної послідовності A, з теорем, про границю монотонних послідовностей одержимо, що .

Теорема доведена.