Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 10 М_ра Лебега / Задач_ 10-4 М_ра Лебега в Rm

5

Глава 10

Міра Лебега

4. Міра Лебега в

Теорія

Нехай - деякий фіксований півінтервал, - півкільце усіх півінтервалів з , A - кільцева оболонка множини (породжене кільце), тобто елемент алгебри A має вигляд:

. (1)

Довжина півінтервалів , , сегменту та інтервалу дорівнює . Довжиною множини , що визначена формулою (1) вважають сумарну довжину проміжків, що її складають, тобто:

.

Теорема 1.	(Визначення міри на алгебрі проміжків)
	Якщо визначити на алгебрі A функцію , поклавши , то вона є мірою цій алгебрі.

Нехай - зовнішня міра, що побудована для визначеної в теоремі 1 міри ; -вимірні множини називають вимірними за Лебегом, а продовження міри на -алгебру Ã=Ã вимірних за Лебегом множин називають мірою Лебега.

Теорема 2.	(Міра одно точкової множини)
	Множина, що складається з однієї точки, вимірна, та має міру нуль.
Теорема 3.	(Міра зліченої множини)
	Довільна не більш як злічена множина точок на прямій вимірна та має міру нуль.
Теорема 4.	(Міра проміжку)
	Будь-який проміжок є вимірною множиною, та його міра дорівнює його довжині.
Теорема 5.	(Вимірність відкритих та замкнених множин)
	Будь-яка відкрита та замкнена множина вимірна за Лебегом.
Зауваження.		(Міра відкритих та замкнених множин)
		Для множини , що визначається формулою (1) можемо записати , відповідно, .

Борелевською алгеброю в просторі називається алгебра B, що породжена усіма відкритими множинами. Елементи цієї алгебри називаються борелевськими множинами.

Теорема 6.	(Вимірність борелевських множин)
	Будь-яка борелевська множина на прямій вимірна за Лебегом.
Теорема 7.	(Достатня умова вимірності)
	Якщо - вимірна множина на прямій, то існує така обмежена відкрита множина , що та .

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо буде вимірним за Лебегом множина .Сукупність усіх вимірних за Лебегом множин позначимо Ã. Легко зрозуміти з попереднього, що борелевські множини вимірні за Лебегом.

Теорема 8.	(Сукупність вимірних за Лебегом множин)
	Сукупність Ã вимірних за Лебегом множин утворює алгебру.

Мірою Лебега множини Ã називається границя (можливо нескінченна) .

Теорема 9.	(Перевірка міри)
	Визначена функція є скінченою мірою на алгебрі Ã вимірних множин.
Теорема 10.	(Система вичерпних півінтервалів)
	Вимірність множини та значення міри Лебега не залежить від вибору системи пів інтервалів, що монотонно зростають та вичерпують усю дійсну вісь, тобто замість півінтервалів можна вибрати довільну систему півінтервалів таких, що , при цьому сукупність вимірних множин та їх міри не зміняться.

Міра Лебега в просторі будується за аналогічною схемою, що й в одновимірному просторі.

Нехай дві точки , задовольняють умови . Тоді назвемо -вимірним півінтервалом (або напіввідкритим брусом) множину , об’ємом такого бруса назвемо число .

Легко переконатися, що сукупність таких півінтервалів в вимірному евклідовому просторі утворює півкільце . Якщо зафіксувати один подібний напіввідкритий брус, то можна утворити алгебру A, що породжена , а тому кожна множина цієї алгебри набуває вигляду: , , об’ємом такої множини будемо вважати суму об’ємів брусів, що його утворюють.

Теорема 11.	(Визначення міри в )
	Якщо A покласти , то - міра.

Далі так само будується зовнішня міра , визначається клас - вимірних множин, які називаються вимірними за Лебегом, а продовження міри називається мірою Лебега.

Обмежений многовид , , називається регулярним, якщо існує скінчена сукупність півінтервалів , що покриває і така, що .

Так, наприклад, для регулярності -вимірного многовиду достатньо, щоб його можна було задати рівнянням вигляду: , де визначена та неперервна на деякому компакті.

Теорема 12.	(Міра регулярного многовиду)
	Якщо - обмежений регулярний многовид в просторі , розмірності менше за , то - вимірна за Лебегом та .

Для необмежених множин також усе визначається аналогічно визначенню міри для необмежених множин на прямій.

Задачі

1. Довести, що:

а) будь-яка множина на прямій вимірна на площині;

б) якщо множина на прямій має додатну міру, то:

1) ;

2) ;

в) довільна не порожня замкнена множина на прямій міри нуль ніде не щільна на прямій;

г) довільна обмежена вимірна множина , у якої , містить вимірну підмножину : ;

д) борелевські множини вимірні за Лебегом;

е) будь-яка вимірна за Лебегом множина на прямій є об’єднанням борелевської множини та множини міри нуль;

є) якщо - невимірна множина на прямій, а множина має міру нуль, то множина - невимірна;

ж) міра Лебега обмеженої множини на прямій не залежить від вибору ;

з) борелевськими множинами є множини типу:

1) - злічені перетини відкритих множин;

2) - злічені об’єднання замкнених множин;

3) - злічені об’єднання множин типу ;

4) - злічені перетини множин типу ;

и) борелевська алгебра B співпадає з алгеброю, що породжена такою сукупністю множин:

1) усіх замкнених множин;

2) усіх інтервалів;

3) усіх сегментів;

4) усіх півінтервалів типу ;

5) усіх півінтервалів типу ;

6) усіх проміжків (інтервалів, сегментів, півінтервалів) з раціональними краями;

і) , якщо позначити - мінімальне продовження міри , виконуються рівності:

1) ;

2)

ї) - вимірна за Лебегом, тоді:

1) , - замкнена: ;

2)

3) ;

4) і тільки тоді, коли : , де - замкнена, - відкрита і ;

5) : , де множини відповідно типу та ;

6) функція , є неперервною на ;

к) , - скінчена та додатна, тоді:

1) : ;

2) : ;

л) якщо невід’ємна функція , то:

1) множина - борелевська;

2) міра ;

2. Перевірити твердження:

а) множина, що містить принаймні одну внутрішню точку не може мати нульову міру;

б) існує замкнена множина , що не співпадає з усім сегментом та має міру ;

в) перетин монотонно спадної послідовності множин , кожна множина якої має нескінченну міру (), може мати:

1) нескінченну міру;

2) будь-яку скінчену ненульову міру;

3) нульову міру;

г) необмежена вимірна множина на прямій може мати скінчену ненульову міру;

д) множина міри нуль на прямій не більш як злічена;

е) об’єднання зростаючої послідовності вимірних множин скінченої міри мати:

1) скінчену міру;

2) нескінчену міру;

є) алгебра A має потужність континуум, де:

1) AB - борелевські множини;

2) A - лебегівські множини;

3. Знайти:

а) міри Лебега на прямій:

1)канторових множин ;

2) множини усіх точок, в двійковому розкладі яких на парних місцях стоять нулі;

3) множини , якщо - послідовність вимірних множин, а також ;

б) міри Лебега множин на площині:

1) ;

2) ;

3) - множина точок Декартові та полярні координати яких ірраціональні;

4);

5) ;

6) ;

7) ;

4. Побудувати:

а) приклад не вимірної за Лебегом множини на прямій;

б) приклад вимірної за Лебегом множини на площині, проекції якої на обидві координатні осі не є вимірними;

в) приклад послідовності вимірних множин , для якої виконується нерівність ;

г) диз’юнктну послідовність - борелевських множин, для яких виконуються умови:

1) , ;

2) ;

3) , ;