Globin_Mat_DPA_11rus_013-13_S

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Решение.Поскольку sin(π – x) = sinx для любого значе­ ния x, то имеем функцию y = sinx. Ее график изображен на рисунке А).

Ответ. А).

1.7.Какая из функций является первообразной для функции f(x) = 2x?

А) F(x) = 2; Б) F(x) = 2 + x; В) F(x) = x2 + 7; Г) F(x) = 2x.

Решение. Поскольку (x2 + 7)′ = 2x, то F(x) = x2 + 7 яв­ ляется первообразной для функции f(x) = 2x.

Ответ. В).

1.8. Найдите интервал возрастания функции f(x) = x2 – 4x + 3.

А) (– ; –2]; Б) [–2; + ); В) [2; + ); Г) (– ; 2].

Решение. f′(x) = 2x – 4; f′(x) = 0,

когда x = 2. Функция возрастает на

интервале [2; + ).

Ответ. В).

1.9.Сумма трех сторон ромба равна 12 см. Найдите его пери­

метр.

Ответ. Г).

1.11.Радиус основания конуса равен 4 см, а образующая – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

А) 20 см2; Б) 20π см2; В) 12π см2; Г) 15π см2.

Решение.

r = 4 см; l = 5 см; Sбок = π ∙ r ∙ l = π · 4 · 5 = 20π (см2).

Ответ. Б).

1.12.Сравните длины отрезков АС и ВС, если А(–2; 3; 4),

В(0; 4; –1), С(5; 4; 4).

Следовательно, АС = ВС.

Ответ. В).

Оформление бланка ответов первой части

Часть вторая

Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Вычислите .

Решение.

Ответ. .

2.2.Сколько разных четырехзначных чисел можно сложить из цифр 0; 1; 2; 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение. Из данных четырех цифр можно образовать Р4 = 4! четырехзначных записей. Но поскольку среди цифр есть нуль, то надо исключить записи, которые на­ чинаются с него, то есть Р3 записей. Следовательно, мож­ но получить Р4 – Р3 = 24 – 6 = 18 чисел.

Ответ. 18.

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

2.3.Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями y = = x2 – 2x и y = 4 + x.

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:

x2 – 2x = 4 + x; x2 – 3x – 4 = 0;

x1 = –1; x2 = 4.

Ординаты точек пересечения

y1 = 3; y2 = 8.

Изображаем графики схемати­ чески (см. рис.).

Искомая площадь равна

Ответ. .

2.4.Основанием пирамиды является прямоугольник с боль­ шей стороной  см и углом 60° между диагональю ос­ нования и меньшей стороной. Каждое боковое ребро пи­ рамиды равно 15 см. Найдите объем пирамиды.

Решение. На рисунке основанием пирамиды является прямоугольник

ABCD; AD =  см; AСD = 60°,

точка О – основание высоты.

В {AСD ( D = 90°):

(cм).

SABСD = AD · DС = 9 · = (cм2).

Поскольку SA = SВ = SС = SD, то {SОA = {SОВ = {SОС =

={SОD (по катету и гипотенузе), то AО = ВО = СО =

=DО.

Точка О равноудалена от вершин прямоугольника ABCD и принадлежит плоскости основания, а потому является

центром описанной вокруг этого прямоугольника окруж­ ности (точкой пересечения диагоналей прямоугольника).

В {ADС: (см). (cм).

В {SОС: (см).

Тогда объем пирамиды

(см3).

Ответ.  см3.

Оформление бланка ответов второй части

Часть третья

Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и их объяснение, сделать ссылку на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 3 · 42х – 2 · 42х–1 + 5 · 42х–2 = 45.

Решение. Решим уравнение методом равносильных преобразований:

3 · 42х – 2 · 42х–1 + 5 · 42х–2 = 45; 3 · 42х – 2 · 42х · 4–1 + 5 · 42х · 4–2 = 45;

42х = 45;

42х · = 45;

42х = 16;

42х = 42;

2х = 2;

х = 1.

Ответ. х = 1.

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

3.2.Упростите выражение .

Решение.

.

Выполним сокращение дроби на sin22a при условии, что sin2a ≠ 0, то есть что , где n Z. Имеем

Ответ. sin2α.

3.3.Основанием прямого параллелепипеда является паралле­ лограмм с острым углом 30° и площадью 15 см2. Площа­

ди боковых граней параллелепипеда равны 20 см2 и

24 см2. Найдите высоту параллелепипеда.

Решение. Пусть стороны основания

параллелепипеда равны a и b, а вы­

сота – h.

По условию Sосн = absin30° = 15, то есть  ab = 15; ab = 30.

Боковые грани параллелепипеда – прямоугольники со

сторонами a и h и b и h. Поэтому по условию ah = 20; bh = 24. Имеем систему уравнений

Почленно перемножим левые и правые части уравнений

системы:

a2b2h2 = 30 ∙ 20 ∙ 24 = 3 ∙ 10 · 2 · 10 · 2 ∙ 3 ∙ 4; (abh)2 = (10 · 2 ∙ 3 ∙ 2)2;

abh = 120 (учитывая, что a > 0, b > 0, h > 0).

Поскольку ab = 30, имеем: 30h = 120, h = 4.

Ответ. 4 см.

Обðàçец

Часть четвертая

Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и их объяснение, сделать ссылку на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение cosx + sinx = .

Решение. ОДЗ: х ≠ + πk, k Z. На ОДЗ исходное

1) Если а = 0, то из исходного уравнения имеем: cosx + sinx = 0; tgх = –1; х = –  + πn, n Z.

2) Если а ≠ 0, то имеем однородное тригонометрическое уравнение (1). Разделим обе части этого уравнения на cos2x ≠ 0. Получим: аtg2х – tgх + (а – 1) = 0.

Обозначим tgх = t, получим уравнение аt2 –t + (а – 1) = 0.

D = 1 – 4а(а – 1) = 1 + 4а – 4а2.

D I 0, когда .

;

+ πm, m Z.

если , то + + πm, m Z;

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

если или , то уравнение решений

не имеет.

4.2м. Решите уравнение .

Решение. Поскольку и , то по неравен­ ству Коши ;

Рассмотрим функцию у = cos5x. Область значений этой функции Е(cos5x) = . Тогда Е(1 + cos5x) = .

Е(2х + 2–х) Е(1 + cos5x) = . Следовательно, корнем уравнения может быть только то значение х, для кото­ рого значения левой и правой частей уравнения равны 2.

2х + 2–х = 2, только когда х = 0. Но при х = 0 имеем

= 2.

Следовательно, х = 0 – единственный корень исходного уравнения.

Ответ. х = 0.

4.3м. Через некоторую точку внутри треугольника параллель­ но его сторонам проведены три прямые. Эти прямые де­ лят треугольник на шесть частей, три из которых – тре­ угольники. Площади этих треугольников равны S1, S2 и S3. Найдите площадь данного треугольника.

Решение. Обозначим длины отрезков АF = x, LC = y, FL = z.

Из параллельности прямых MN, FP и KL соответствующим

сторонам АВС следует, что каждый из полученных тре­ угольников МKO, OРN, FOL подобен треугольнику АВС (по двум углам).

Если искомую площадь треугольника АВС обозна­ чить через S, то по свойству площадей подобных тре­ угольников можно записать таких три равенства:

Сложив почленно эти три равенства, получим:

Отсюда имеем

, S = .

Ответ. .

4.4м. В цилиндр вписан прямоуголь­ ный параллелепипед, диаго­ наль которого образует с приле­ гающими к ней сторонами основания углы α и β. Найдите

отношение объема параллеле­ пипеда к объему цилиндра.

Р е ш е н и.еПоскольку цилиндр

и параллелепипед имеют одина­­

ковые высоты, то искомое от­ ношение­ объемов равно отноше­ нию площадей оснований.

Обозначим радиус основания

цилиндра R. Тогда:

Поскольку ВА АD и ВА является проекцией B1А на плоскость основания параллелепипеда, то, по теореме о

трех перпендикулярах, B1А АD.

Угол АDB1 – это угол, который образует диагональ B1D со стороной основания параллелепипеда AD и, по условию, АDB1 = α. Обозначим B1D = d.

Из {B1АD ( А = 90°, АDB1 = α, B1D = d) находим

АD = dcosα.

Аналогично из {B1DС находим DС = dcosβ.

SABCD = AD · DC = d 2cosαcosβ.

Из {АBD ( А = 90°) по теореме Пифагора находим

BD =

Учитывая, что BD = 2R, имеем

Таким образом, искомое отношение:

.

Ответ. .

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ І

ВАРИАНТ 1

Часть первая

Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.4.Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

16; 8; 4; ...

1.5.Найдите градусную меру угла, радианная мера которого

равна .

1.8. Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями

, , , .

1.9.На каком из рисунков углы AOB и MON являются верти­ кальными?

1.10.Найдите градусную меру внутреннего угла правильного восьмиугольника.

1.11.Объем призмы равен 150 см3, а площадь основания – 10 см2. Найдите высоту призмы.

1.12.Все вершины ромба ABCD принадлежат плоскости a.

Прямая m параллельна прямой AB. Как могут быть рас­ положены прямая m и плоскость a? Выберите правиль­ ное утверждение.

А) прямая m может принадлежать плоскости a или пе­

ресекать ее, прямая m не может быть параллельной плоскости a;

Б) прямая m может принадлежать плоскости a, прямая m не может пересекать плоскость a или быть парал­ лельной плоскости a;

В) прямая m может принадлежать плоскости a или быть параллельной плоскости a, прямая m не может пересекать плоскость a;

Г) прямая m может принадлежать, быть параллельной плоскости a или пересекать плоскость a.

Часть вторая

Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Решите уравнение .

2.2.В коробке находится 30 карточек, пронумерованных на­ туральными числами от 1 до 30. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней за­ писано число, которое не является делителем 30?

2.3. Решите уравнение .

2.4.Высота конуса относится к его диаметру как 2 : 3, а об­ разующая конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ