finantial

Тому, якщо, наприклад, процес θ є обмеженим, то його стохастична експонента Et (θ) є мартингалом (слабшi умови наведено

далi). Тому для таких процесiв виконується

Якщо процес θu не є обмеженим, ми можемо наблизити його

обмеженими так, щоб виконувалося (A.2.4), тодi з леми Фату одержимо

Звiдси, зокрема, випливає, що стохастична експонента Et(θ) завж-

ди є супермартингалом. Тому для того, щоб стохастична експонента була мартингалом на [0, T ], необхiдно i достатньо вико-

нання умови

Теорема A.2.10. Нехай стохастична експонента процесу a за-

довольняє умову Тодi процес e , визначений формулою (A.2.15),

W

є вiнерiвським на [0, T ] вiдносно мiри Pθ з похiдною Радона–

Нiкодима

dPθ = ET (a). dP

Доведення. Ми доведемо це твердження за припущення, що умову Новiкова (A.2.17) виконано, загальне доведення можна знайти у [18]. Скористаємося характеризацiєю Левi: доведемо, що

323

Тому, завдяки квадратичнiй iнтегровностi процесу (1−Yt θt)Et (θ), Yt є мартингалом. За формулою для умовного математичного сподiвання для t > s

аналогiчне.

A.3 Мартингальне зображення

Однiєю з найважливiших властивостей стохастичного iнтегралу, яка знаходить багато застосувань, є мартингальна властивiсть. Теорема про мартингальне зображення у певному сенсi є оберненим твердженням.

Конкретнiше, нехай фiльтрацiя F породжена процесом W . Те-

орема про мартингальне зображення стверджує, що для будьякого квадратичного iнтегровного F-мартингалу X на [0, T ] iснує квадратично iнтегровний F-узгоджений процес ξ (множину таких процесiв позначатимемо L2a([0, T ]), такий, що для всiх t

Два мартингали спiвпадають тодi й лише тодi, коли спiвпадають їхнi фiнальнi значення. Тому для доведення (A.3.1) достатньо лише показати, що

w T

XT = E[XT ] + ξs dWs .

0

324

Якщо забути про те, що XT є фiнальним значенням мартингалу,

можно сформулювати таке твердження, яке називається теоремою про зображення Iто.

Теорема A.3.1. Нехай F L2(FT ). Тодi iснує єдиний (з точнiстю до еквiвалентностi) процес ξ L2a([0, T ]), такий, що має мiсце

зображення Iто

майже напевно.

Доведення. Почнемо з єдиностi. Якщо для однiєї випадкової величини F iснують два процеси ξ(i) L2a([0, T ]), i = 1, 2, для яких

виконується (A.3.2). Вiднiмемо цi рiвностi, пiднесемо до квадрату, вiзьмемо математичне сподiвання й одержимо

w T

0 E[|ξ(1)t − ξ(2)t |2] dt = 0,

звiдки маємо, що процеси ξ(i), i = 1, 2, еквiвалентнi.

Тепер доведемо iснування. Розглянемо множину E випадко-

де невипадкова функцiя h L2([0, T ]). Кожна з таких величин

має зображення Iто:

w T

Eh = 1 + h(t) dWt .

0

Зрозумiло, що тодi й будь-яка лiнiйна комбiнацiя таких величин має зображення Iто. Ми хочемо довести, що лiнiйна оболонка множини E є скрiзь щiльною в L2(FT ).

Спочатку помiтимо, що множина випадкових величин вигля-

ду f (Wt1 , Wt2 , . . . , Wtk ), де f – обмежена вимiрна функцiя, а t1 < t2 < < · · · < tk – розбиття вiдрiзку [0, T ], є скрiзь щiльною у L2([0, T ]).

Дiйсно, розглянемо зростаючу послiдовнiсть {Π(n)} розбиттiв вiдрiзку [0, T ], дiаметр яких прямує до нуля, i позначимо F(n) σ- алгебру, породжену приростами вiнерiвського процесу на Π(n).

325

Оскiльки вiнерiвський процес є неперервним, то найменша σ- алгебра, що мiстить всi F(n), спiвпадає з FT . Тодi за теоремою про збiжнiсть мартингалу (див. [18]) для F L∞(FT ) маємо

E[F |F(n)] → E[F |FT ] = F , n → ∞ майже напевно, а тому i в L2(FT ) завдяки обмеженостi. Але, як вiдомо, E[F |F(n)] є вимiрною фун-

кцiєю вiд Wt , t Π(n), причому цю функцiю можна взяти обмеженою, тому що E[F|F(n)] є обмеженою. Залишилося помiтити, що множина обмежених випадкових величин L∞(FT ) скрiзь щiльна

в L2(FT ).

Далi, кожну випадкову величину вигляду f (Wt1 , . . . ,Wtk ), де f – обмежена вимiрна функцiя, можна наблизити у середньому

квадратичному лiнiйними комбiнацiями величин вигляду

Справдi, це те саме, що наблизити функцiю f експоненцiйними полiномами у L2(Rk, Nk), де Nk – певна гаусова мiра, а це є стан-

дартним твердженням з функцiонального аналiзу. Залишилося зауважити, що величина вигляду (A.3.3) – це, з точнiстю до сталої, Eh для певної кусково сталої h.

Отже, для будь-якої F L2(FT ) iснує послiдовнiсть F (n) величин з лiнiйної оболонки E, така, що E[|F (n) − F |2] → 0, n → ∞. Маємо E[F (n)] → E[f ], n → ∞, тому й F (n) − E[F (n)] + E[F ] → F ,

то послiдовнiсть ξ(n) є фундаменальною у L2a([0, T ]), а отже, й збiжною до деякого ξ. Тодi з неперевностi стохастичного iнтегралу у L2a випливає (A.3.2).

Як наслiдок з теореми про зображення Iто, одержуємо теорему про мартингальне зображення.

326

Теорема A.3.2. Нехай Mt є квадратично iнтегровним F-мар- тингалом на [0, T ]. Тодi iснує єдиний, з точнiстю до еквiвалентностi, процес ξ L2a([0, T ], такий, що для всiх t [0, T ]

майже напевно.

Доведення. Записавши зображення Iто для MT i взявши математичне сподiвання за умовою Ft , маємо бажане твердження.

A.3.1 Стохастична похiдна

Теорема про зображення Iто стверджує лише iснування процесу ξ, але не вiдповiдає на головне запитання – як шукати

такий процес. Тут у нагодi стає поняття стохастичної похiдної. Ми дамо лише визначення, доведення усiх фактiв зацiкавлений читач може знайти у [59].

Гладенькими назвемо FT -вимiрнi величини вигляду F = f (Wt1 ,

. . . , Wtk ), де ti [0, T ], 1 ≤ i ≤ k, f C0∞(Rk) (нескiнченно непе-

рервно диференцiйована з обмеженим носiєм). Стохастичною похiдною величини F назвемо випадковий процес вигляду

Xk

Простiр D випадкових величин визначимо як поповнення простору гладеньких величин за нормою k·kD. Оператор D допускає замикання, тому вiн коректно продовжується на простiр D.

Стохастична похiдна має такi самi властивостi, як i звичайна:

•лiнiйнiсть: Dt (αF + βG) = α Dt F + β DtG;

•похiдна добутку: Dt (FG) = F DtG + G Dt F ;

327

• диференцiювання складної функцiї:

Xk

Dt f (F1, . . . , Fk) = fi0(F1, . . . , Fk)DtFk.

i=1

Однiєю з найважливiших властивостей стохастичної похiдної є наступна теорема Кларка-Окона-Хаусмана, яка дає формулу для процесу ξ у зображеннi Iто в термiнах стохастичної похiдної.

майже напевно.

Доведення. Формулу (A.3.5) легко одержати з означення для випадкових величин вигляду

exp {a1Wt1 + . . . anWtn } .

Пiсля цього, як в теоремi про зображення Iто, лiнiйними комбiнацiями таких величин наближуємо величину F в середньому квадратичному: F (n) → F , при цьому Dt F (n) збiгаються у середньому квадратичному до ξ, процесу у зображеннi F . Зi замкне-

ностi стохастичної похiдної i неперервностi умовних математичних сподiвань у середньому квадратичному одержимо формулу (A.3.5).

З теореми Кларка-Окона-Хаусмана та властивостей iнтегралу Iто можна легко одержати наступну формулу, так звану стохастичну формулу iнтегрування частинами.

Теорема A.3.4. Нехай X L2a([0, T ]), F D. Тодi

Формула (A.3.6) дозволяє узагальнити поняття стохастичного iнтегралу, визначивши його для процесiв, якi не є узгодженими. Таке узагальнення називається iнтегралом Скорохода. Детальнiше про нього можна прочитати у [59].

328

Додаток B Таблицi

B.1 Ануїтетнi таблицi

У таблицях B.1–B.3 наведено значення степенiв νn дискон-

тного множника. Оскiльки цi значення додатнi й меншi за 1, наведено тiльки цифри пiсля коми. Значення νn для даної вiдсоткової ставки i знаходиться на перетинi рядку, який починається значенням i (у вiдсотках) та стовпчику, вгорi якого значення n. Наприклад, з таблицi B.2 знаходимо, що ν20 = 0,41199 для i = 3 %. У таблицi B.3 для зручностi наведено значення, що

вiдповiдають цiлому числу мiсяцiв.

Якщо для даного значення степеня в таблицi немає iнформацiї, можна скористатися властивiстю показникової функцiї:

νm+n = νmνn.

Таблицi B.4, B.5 дають значення сталого ануїтету iз заборгованiстю. Використовувати їх слiд так само, як i таблицi B.1–B.3. Якщо для даного термiну в таблицi немає iнформацiї, можна скористатися ануїтетним рiвнянням: am+n| = am| + νman| або фор-

мулою an| = (1 − νn)/i.

Таблиця B.6 для даного значення рiчної ефективної ставки i дає значення дисконтного множника, найбiльш уживаних но-

мiнальних та дисконтних ставок та iнтенсивностi вiдсотка. Таблиця B.7, навпаки, дозволяє за даним значенням номiнальної або дисконтної ставки чи iнтенсивностi вiдсотка визначити рiчну ефективну вiдсоткову ставку. Шукане значення рiчної ефективної вiдсоткової ставки знаходиться у рядку, що вiдповiдає даному значенню номiнальної (дисконтної) ставки або iнтенсивностi вiдсотка, i стовпчика, що вiдповiдає данiй ставцi.

329

Табл. B.1: Таблиця значень νn для n = 4, 5, . . . , 12.

330

Табл. B.2: Таблиця значень νn для n = 13, 14, . . . , 40.

331

Табл. B.3: Таблиця значень νk/12 для k = 1, 2, . . . , 11.

332