finantial

s (c, d], то Et,s можна подати у виглядi (Ws −Wc ) + (Wt d −Ws ). Перший прирiст є Fs -вимiрним, другий незалежним вiд Fs , тому

= Ws −Wc = Is (ϕ). Нарештi, якщо s > d, то ϕt = ϕs = Wd −Wc є Fs вимiрним, тому Et,s = Is (ϕ). Ортогональнiсть приростiв ви-

пливає з мартингальної властивостi так: для 0 ≤ s ≤ t ≤ u

E[Is (ϕ)[It(ϕ) − Iu(ϕ)]] = E[Is (X)E[It(ϕ) − Iu(ϕ)|Fs]] = E[Is (ϕ)[Is(ϕ) − Is (ϕ)]] = 0.

Доведення iснування неперервної модифiкацiї аналогiчне до доведення теореми Колмогорова i його можна знайти у [18].

Надалi ми будемо завжди припускати, що обрано неперервну версiю iнтегралу It (ϕ).

Зазначимо, що iнтеграл Iто можна визначити не лише для

процесiв з класу L2 , а й для узгоджених процесiв, що задоволь-

a r ∞

няють слабше припущення, а саме: 0 ϕ2t dt < ∞ майже напев-

но. Для такого процесу можна побудувати таку послiдовнiсть

за ймовiрнiстю, i визначити iнтеграл як границю за ймовiрнiстю I (ϕ(n)). Iснування границi та її незалежнiсть вiд вибору набли-

жуючої послiдовностi можна знайти, наприклад, у [18]. Також там можна знайти доведення iснування неперервної модифiкацiї у цьому випадку та збiжнiсть I (ϕ(n)) → I (ϕ) за ймовiрнiстю

при виконаннi умови (A.2.4). Але зауважимо, що при виконаннi лише послабленої умови процес It (ϕ) не є, взагалi кажучи,

мартингалом.

A.2.1 Формула Iто

Поняття стохастичного iнтегралу природно доповнюється поняттям стохастичного диференцiалу.

Означення A.2.4. Якщо майже напевно для будь-якого t [a, b]

313

де α, β – такi узгодженi процеси, для яких

w b

a

(|αt | + β2t )dt < ∞

м.н., то кажуть, що процес X на вiдрiзку [a, b] має стохастичний

диференцiал

dXt = αt dt + βt dWt .

Визначений на певному вiдрiзку процес, який має стохастичний диференцiал на цьому вiдрiзку, ще називають процесом Iто.

Зауважимо, що в означеннi стохастичного диференцiалу можна замiнити фразу “майже напевно для будь-якого t [a, b]”

(подiя повної ймовiрностi, на якiй виконується (A.2.5), однакова для всiх t) на фразу “для будь-якого t [a, b] майже напевно” (подiя, на якiй виконується (A.2.5), залежить вiд t), якщо додати умову неперервностi траєкторiй процесу X. Справдi, з пер-

шого означення, очевидно, випливає друге. Якщо виконується друге означення, то майже напевно (A.2.5) має мiсце для всiх t [a, b] ∩ Q, отже, завдяки неперервностi процесу X, а також стохастичного i звичайного iнтегралу в (A.2.5), для всiх t [a, b].

Таким чином визначений диференцiал має, очевидно, властивiсть лiнiйностi:

d(pXt + qYt ) = p dXt + q dYt , p, q R.

Однак, на цьому аналогiя зi звичайним диференцiалом закiнчується. Вже для добутку формула буде складнiшою.

314

Доведення. Завдяки неперервностi стохастичного iнтегралу достатньо довести твердження для ступiнчастих процесiв α(i), β(i), а завдяки лiнiйностi – лише для процесiв вигляду 1[c,d] , причому c, d можна взяти однаковими для усiх процесiв α(i), β(i), i = 1, 2. Бiльше того, завдяки лiнiйностi стохастичного дифе-

ренцiалу достатньо розглянути випадки

1.β(1) = β(2) ≡ 0,

2.β(1) = α(2) ≡ 0,

3.α(1) = α(2) ≡ 0.

Для t / [c, d] формула (A.2.6) є очевидною, оскiльки обiдвi частини дорiвнюють нулю, тому припустимо, що t [c, d].

Упершому випадку процеси не мають стохастичної компоненти, тому твердження є очевидним наслiдком звичайної формули iнтегрування частинами.

Удругому випадку Xt(1) = Xc(1) + Wt − Wc , Xt(2) = Xc(2) + t − c. З

неперервностi стохастичного iнтегралу маємо

k=0

де границя береться у середньоквадратичному сенсi при подрi-

бненнi розбиття = {c = t0 < t1 < · · · < tn = t} вiдрiзку [c, t]. Оста-

ння рiвнiсть (завдяки неперервностi вiнерiвського процесу) виконується у сенсi збiжностi майже напевно, а тому (завдяки рiвномiрнiй iнтегровностi) – в середньоквадратичному сенсi. Тодi iнтеграл вiд правої частини рiвностi (A.2.6) можна перетворити

=(t − c)Wt + Xc(1)(t − c) −Wc (t − c) + Xc(2)(Wt −Wc ) =

=Xt(1)Xt(2) − Xc(1)Xc(2).

315

Це як раз те, що потрiбно було довести.

k=1

де границя береться у середньоквадратичному сенсi при подрi-

+Wt2 −Wc2 − (t − c) − 2Wc (Wt −Wc ) =

= Xt(1)Xt(2) − Xc(1)Xc(2),

що й потрiбно було довести.

Формула стохастичного диференцiалу добутку дозволяє одержати формулу диференцiювання складної функцiї. Ця формула називається формулою Iто.

Теорема A.2.6. Нехай процес X на вiдрiзку [a, b] має стохастичний диференцiал dXt = αt dt + βt dWt , а функцiя u : R → R є двiчi неперервно диференцiйованою. Тодi процес Yt = u(Xt ) має

стохастичний диференцiал

316

Доведення. Ми доведемо твердження теореми лише за припу-

щення rab E[β2t ] dt < ∞, у загальному випадку доведення див. у

[18]. Використавши твердження A.2.5, за iндукцiєю легко одержати твердження теореми для функцiй вигляду u(x) = xn, а

тому – для многочленiв.

Нехай тепер маємо довiльну функцiю u C2(R). Позначимо

αt (u) = u0(Xt )αt + 12 u00(Xt )β2t , βt (u) = u0(Xt)βt .

Для довiльного C > 0 можна побудувати послiдовнiсть много-

членiв un, таку, що un u, un0 u0, un00 u00 на [−C, C]. Позначимо AC = {sup[a,b] |Xt | ≤ C}. Запишемо формулу Iто для un,

ми, то P(B1,C ) → 0, C → ∞. З iншого боку, за нерiвнiстю Дуба

P(B2,C ) → 0, C → ∞, тому для кожного t [a, b] майже напевно

виконується

w t

u(Xt ) = u(Xa) + αs (u) dt + βs(u) dWs ,

a

що й потрiбно було довести.

317

A.2.2 Стохастичнi диференцiальнi рiвняння

Звичайним одновимiрним стохастичним диференцiальним рiвнянням (СДР) називається рiвняння вигляду

з невипадковою початковою умовою X0. Тут a, b є певними ви-

мiрними функцiями.

Означення A.2.7. (Сильним) розв’язком СДР (A.2.8) на [0, T ]

Рiвняння (A.2.9) часто також називають стохастичним диференцiальним рiвнянням, або СДР в iнтегральнiй формi.

Найпростiшi умови iснування i єдиностi розв’язку наведено у наступнiй теоремi. У нiй i далi символом C буде позначатися

стала, значення якої може змiнюватися вiд рядку до рядку i може залежати лише вiд коефiцiєнтiв a, b та початкової умови

X0.

Теорема A.2.8. Нехай коефiцiєнти рiвняння (A.2.8) для всiх t [0, T ], x, y R задовольняють умови

|a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|),

|a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ C |x − y| .

Тодi це рiвняння має єдиний розв’язок.

Доведення. Доведення проводиться аналогiчно тому, як це робиться для звичайних диференцiальних рiвнянь. Для додатного K визначимо наступну норму на LT2 := L2([0, T ] × Ω):

w T

kXk2K = e−KtE[(Xt )2] dt.

0

318

Зрозумiло, що ця норма еквiвалентна до природної норми, тобто

Тодi оператор F є стискуючим у просторi LT2 з нормою k·kK при K > C(T + 1), тому iснує єдиний елемент цього простору, для якого F (X) = X, що й потрiбно було довести.

Часто процес, який є розв’язком рiвняння (A.2.8), називають дифузiйним процесом зi коефiцiєнтами переносу a та дифузiї b.

Зауважимо, що цей процес має маркiвську властивiсть, а якщо коефiцiєнти a, b не залежать вiд t, то вiн є однорiдним процесом

Маркова.

319

A.2.3 Зв’язок з рiвняннями математичної фiзики

Формула Фейнмана–Каца пов’язує розв’язок стохастичного диференцiального рiвняння з розв’язком певного рiвняння у частинних похiдних. Для виведення цього рiвняння нам знадобляться допомiжнi позначення. Припустимо, що коефiцiєнти рiвняння (A.2.8) задовольняють умови теореми A.2.8 i не залежать вiд t. Через Px позначимо розподiл розв’язку цього рiвняння з початковою умовою X0 = x, через Ex – вiдповiдне математичне

сподiвання.

Для функцiї f C2(R), яка обмежена разом з похiдними, ми можемо розписати f (Xt ) − f (X0) за формулою Iто i взяти мате-

матичне сподiвання вiд обох частин, при цьому стохастичний

де оператор A, генератор дифузiйного процесу X, визначається

(Формула (A.2.10) є частковим випадком вiдомої формули Динкiна.) Покладаючи

u(t, x) = Ex [f (Xt )],

маємо з рiвняння (A.2.10)

∂

∂t u(t, x) = Ex [Af (Xs )].

Виявляється, що в останнiй рiвностi можна “винести” оператор A за знак математичного сподiвання. Справдi, якщо для фiксованого t покласти g(x) = u(t, x), то, як вiдомо з теорiї дифузiйних

процесiв (див. [18]),

Ex[g(Xs )] = Ex [Ey[f (Xt )]|y=Xs ] =

= Ex [E[f (Xt+s )|Fs ]] = Ex [f (Xt+s ] = u(t + s, x)

320

за маркiвською властивiстю та однорiднiстю. Пiдставивши це у (A.2.11), маємо

Рiвняння (A.2.12) є рiвнянням у частинних похiдних параболiчного типу. Разом з початковою умовою u(0, x) = f (x) воно на-

зивається зворотним рiвнянням Колмогорова. Незначно змiнивши мiркування, можна одержати певне узагальнення цього твердження. А саме, для обмеженої функцiї q C(R) визначимо

Оскiльки функцiї f та q обмеженi, то в останнiй рiвностi мож-

на перейти до границi пiд знаком математичного сподiвання i

321

одержати

Як i вище, маємо рiвняння параболiчного типу. Це рiвняння з початковою умовою v(0, x) = f (x) має єдиний розв’язок в класi обмежених на кожнiй множинi вигляду [0, T ] × R функцiй, i

цей розв’язок задається рiвнiстю (A.2.13), яка називається формулою Фейнмана-Каца для розв’язку рiвняння теплопровiдностi (A.2.14).

A.2.4 Теорема Гiрсанова

Теорема (або формула) Гiрсанова є фундаментальною фактом стохастичного аналiзу: вона дозволяє визначити похiдну Радона–Нiкодима при простих перетвореннях випадкових процесiв. Нам знадобиться наступна характеризацiя Левi вiнерiвського процесу, доведення якої зацiкавлений читач може знайти у [18].

Теорема A.2.9. Неперервний випадковий процес W є F-вiнерiвсь- ким процесом тодi i лише тодi, коли обидва процеси Wt та Wt2 − t є F-мартингалами.

Визначимо стохастичну експоненту, або експоненту Долеан, процесу a рiвнiстю

З формули Iто випливає, що

dEt (θ) = −θt Et(θ)dWt .

322