Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

complan_problems

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

730.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

3.2. Обчислення простiших визначених iнтегралiв. . .

658. I =

x4 + px2 + q

, äå ¢ =

674. I =

¡1

2ix

¡1

p ¡ 4q < 0

675.

1 x + 1

2ix

I =

+ 1dx:

659. I =

¡3

676. I =

¡1

dx:

1 x + 1

¡1

677.

x + 1

x6 + 1

660. I =

dx.

¡1

+ i64)

+ c)

¡1 (ax

+ bx

x dx

¡1

I =

R .

678.

x + 2

661. I =

+ 6x2

+ 25:

2 2 , äå

¡1

662. I =

¢ = b

4ac < 0

I =

x4 + 10x2 + 9

dx:

¡1

663. I =

¡1

(x4

2ix2

2)3

679. I =

(x2 + 1)3

¡1

664. I =

dx.

(x4

i)3

680. I =

x dx

(x2

4ix

5)2

¡1

x2 + a2)3 , äå

2x + 1

¡1

665. I =

1 x

+ x + 1dx.

(

1 + i

681. I =

x dx

a > 0:

682. I =

, äå

a > 0:

666. I =

dx2

3 .

+ a )

¡1 x6

1 + i

x dx

I =

a > 0:

¡ ¡

¡1

+ 2)

683. I =

684.

(x2

2ix a2)3 , äå

x dx

667.

¡1

668. I =

(a + bx2)4

äå

(x4 + 6x2 + 25)2

b > 0:

I =

a > 0

¡1

x + 3

669. I =

dx.

685. I =

x4 + 2x2 + 10

¡1

(x2 + a2)(x2 + b2)2

, äå

x dx

a > 0 b > 0:

670. I = R0

(x4 + 1

2+ i)2

686. I =

(x2

2i®x

®2

¯2)n

671. I =

5x dx

äå ® > 0, ¯R

> 0, n¡= 1; 2¡; : : : :

¡1

(x4

2+ 1 ¡ i)3

687. I =

a > 0,

b > 0, n = 1R; 2; : : : :

(x2 + a2)3

672. I =

¡ 1

dx, äå a > 0.

(a + bx2)n ,

¡1

äå

x dx

(2x + 1)

673. I =

dx:

688. I =

dx:

¡1

+ 1)(x

+ 9)

¡1

+ 8x

+ 16)

Глава 3.

Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

689. I =

dx,

äå

692. I =

+ px + q)

¡1

p; q 2 R

¡ 4q < 0:

D = p

693. I =

690. I =

(x2

2x + 2)3

¡1 (x

+ 1)

¡1

691. I =

694. I =

(x2 + 9i)3

(x2 + i)(x2 + 4ix

5)2

¡1

695. I =

dx:

¡1

[x2

(1 i)x + (2 + i)]2

696. I =

x + 2

dx:

¡1

(x4

+ 16)(x2

2ix

В прикладах 697 704 обчислити головне значення iнтеграла.

698.	I =	>1	dx
697. I =		1		dx
		¡1	(x2 + 1)(x ¡ 1).

699.	I =	>1
			dx
		¡1 x3		¡ 1.
700.		>1
			dx
		¡1 x4		¡ 1.
	I = ¡1>
			x5	¡ 1.

702.	I =	>1 x2		+ 1dx.
701. I =		1		dx
		¡1	(x2 + 2)(x ¡ 1).

703.		>1					.
				x2 + 2
		¡1 x4		¡ 1
704.		>1	x2 + x + 4 .
	I = ¡1		x4	+ 2x2 ¡ 3	dx
	I = ¡1>					dx
			x4 + 4x2 ¡ 12

Ÿ3.2.3. Iнтеграли вигляду I = R f(x)ei®xdx

Нехай функцiя f(z) 2 M(C+), мiстить лише скiнчену кiлькiсть по-
люсiв, не ма¹ особливих точок на дiйсно¨ вiсi та задовольня¹ умовам
леми Жордана. Тодi
	ei®xf		x x	¼i		res	ei®zf(z) ; ® > 0:			(3.1)
	Z	(	)d = 2	zk	C+ z=zk		£	¤
	R				2
				X
В прикладах 705 730 обчислити iнтеграл I.
1	x sin x						1 cos x
1	x sin x						1 cos x
705. I = R0		dx, äå a > 0.				706. I = R0			dx, äå a > 0.
705. I = R0	(x2 + a2)2	dx, äå a > 0.				706. I = R0		x2 + a2	dx, äå a > 0.

3.2. Обчислення визначених iнтегралiв. . .

707. I =

x sin x

dx.

¡1

x2 + 2x + 10

+ 13x

708. I =

sin xdx.

¡1

x4 + 13x2 + 36

cos ax

709.

I = R0

x4 + x2 + 1dx, äå a >

710.

cos xdx

I =

R0 (x2 + a2)3 dx, äå Re a >

711.

I =

x3 sin x

dx:

x4 + 5x2 + 4

¡1

712.

I =

cos xdx

dx, äå

(x2 + a2)(x2

Re a > 0, R0Re b > 0.

)

713. I =

cos ax

dx, äå

a > 0,

R0 (x2 + b2)2

Re b > 0.

714. I

1 x sin ax

äå

a > ,

R0 x2 + b2 d

Re b > 0=.

1 x sin x

715. I = R0

dx, äå a > 0.

x2 + a2

716. I =

x cos x

dx.

2x + 10

¡1

717.

I =

(x ¡ 1) cos 2x

dx.

¡1

4x + 5

+ 5x) sin x

718. I =

dx.

x4 + 10x2 + 9

¡1

(x + 1) sin 2x

719. I =

dx.

x2 + 2x + 2

¡1

720. I =

cos x

dx.

2ix

¡1

¡ ix

721. I =

e¡

dx.

x4 + 8x2 + 16

¡1

722. I = ¡1

x2 ¡ 2ix ¡ 2

723. I =

(x ¡ 1)e

dx.

¡1

2x + 2

cos 2x

724. I =

dx, äå

(ax2 + bx + c)3

¡1

a; b; c 2 R

, R

D = b

¡ 4ac < 0

725. I =

eixdx

¡1

(x2 + 4ix

5)3 .

ix¡

726. I =

3)e

¡1

6x + 109.

3ix

727. I =

(x + 1)e¡

dx.

2x + 5

¡1

728. I =

2x sin 2x

dx.

¡1

2x2 + 5

z ch z

729. I = ¡Ri1

dz.

(z + 1)(z + 2)

i+R1 z cos zt

730. I = i¡1 (z + 1)2 dz, äå t > 0.

Ÿ3.3. Обчислення визначених iнтегралiв вiд багатозначних функцiй

В тому випадку, коли повна аналiтична функцiя ¹ багатозначною, для застосування теореми про лишкi потрiбно, перш за все, виключи- ти точки розгалуження. Але цього не досить, так як при обходi точок розгалуження функцiя не поверта¹ться до того ж значення, тобто необ-

44	Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

хiдно зробити розрiз. А потiм розглядати однозначну вiтку f(z) повно¨ аналiтично¨ функцi¨, що ¹ безпосереднiм продовженням функцi¨ f(x) íà

C-площину.

Ÿ3.3.1. Iнтеграли вигляду I = RR+ x®¡1f(x)dx

До цього типу належать iнтеграли типу перетворення Меллiна функцi¨ f(x). Нехай функцiя f(z) 2 M(C) мiстить лише скiнчену кiлькiсть

полюсiв, не ма¹ особливих точок на R+ та задовольня¹ оцiнкам

lim z			®f z	) = 0	;	lim		z	®f z	) = 0	;
z	!	0 j j	(	) = 0		z	!1	j j	(	) = 0
	!						!1

причому f(0) =6 0. Òîäi

x®¡1f

2¼i

z®¡1f

res

(

1 ¡ e2¼i®

C z=zk

(

)

R+

В прикладах 731 735 обчислити iнтеграл I.

731. I

; äå ¯ > 0,

x®(x + ¯)

(0; 1).

732.

dx.

I =

x + 4)p3

(

+ 2)(

733.

dx; äå

(x + 1)(x + 2)

® 2 (¡1; 1).		xp
	1	xp	x
734.	I = R0					dx.
734.	I = R0	(x + 1)(x + 2)(x + 3)				dx.
äå Re ® R0(0(; n), n .				¢ ¢ ¢
735.	1	x®¡1dx
735.	I =	x + 1)(x + 2)			(x + n)		;
	2	2 N

Ÿ3.3.2. Iнтеграли		I =	Ra	¡b¡¡x ¢	®	f(x)dx
	òèïà		b	x a	®

Нехай функцiя f(z) 2 M(C) мiстить лише скiнчену кiлькiсть полюсiв та не ма¹ особливих точок на iнтервалi Re z 2 [a; b]. Òîäi

®¡1

z=zk (

®¡1

)

1 e2¼i®

b z

zk C [a;b]

x a

2¼i

res

z a

(0; 1);

f(x)dx =

f(z) ; ®

(3.2) де пiдсумовування ведеться по всiх полюсах пiдiнтегрально¨ фукнцi¨, включаючи z = 1, окрiм точок розрiзу [a; b].

В прикладах 736 747 обчислити iнтеграл I.

z2@D

3.4. Задача Дiрiхле. Фунцiя Грiна

737. I =

p1 ¡ x2 dx.

736. I =

x(1 ¡ x)

dx.

p(x + 1)3

738.

¡R1 px3

+ 1

I = R0

p¡

739. I =

¡ (1 ¡ x)

dx, äå p

( 1; 2).

1 + x

x1¡p(1 ¡ x)p

740. I =

dx, äå p

( 1; 2).

1 + x2

x1¡p(1 ¡ x)p

741. I =

dx, äå p

( 1; 2).

(1 + x)2

742. I =

x1¡p(1 ¡ x)p

dx, äå p

( 1; 2).

(1 + x)3

I = R0

dx.

743.

p5 1x2(2 ¡ x)3

® > 1.I =

¡R1 (x ¡ ®)p1 ¡ x2 , äå

744.

( 1; 1).=

¡R1

(x ¡ ®)p1 ¡ x2 , äå

745.

746.

I =

747. I = R2

x4p5x ¡ 6 ¡ x2 dx.

x + 1

Ÿ3.4. Задача Дiрiхле. Фунцiя Грiна

Постанова задачи Дiрiхле ма¹ вигляд: знайти функцiю u(x; y), ùî

¹ гармонiчною в областi D, неперервною в замкненiй областi D, ùî íà ìåæi @D прийма¹ певнi неперервнi значення

u(x; y)¯¯ = u0(x; y):

Розв'язок задачi шукатимемо за допомогою метода функцiй Грiна. кцiя Грiна або функцiя джерела задачи Дiрiхле це функцiя двох них G(z; z0), що ма¹ властивостi:

1.	G(z; z0) 2 Hz(D n z0);
2.	G(z; z0) =	1	ln jz ¡ z0j + h(z); h(z) 2 H(D);
2.	G(z; z0) =	2¼	ln jz ¡ z0j + h(z); h(z) 2 H(D);
3.	G(z; z0)¯	= 0.
	¯
	¯

Ôóí-

çìií-

Якщо функцiя w = f(z; z0) здiйсню¹ конформне вiдображення областi D на одиничний круг U(0; 1), при якому точка z0 7!0, функцiя Грiна задачи Дiрiхле для областi D ма¹ вигляд

G(z; z0) = 2¼ ln jf(z; z0)j:

46	Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

Розв'язок задачи Дiрiхле да¹ться теоремою Грiна: нехай функцiя w =

f(z; z0) здiйсню¹ конформне вiдображення областi D на одиничний круг U(0; 1), при якому точка z0 7!0. Тодi розв'язок задачи Дiрiхле для областi D äà¹òüñÿ формулою Грiна

u(z0) = u0(z)@G(z; z0)dz; @n

äå @=@n похiдна в напрямку зовнiшньо¨ нормалi.

В прикладах 748 752 довести, що функцiя Грiна для областi D ìà¹

зазначений вигляд.

748. Довести, що функцiя Грiна для пiвплощини D = fz : Im z > 0g ¹

G(z; z0) = 2¼ ln ¯z

¡ z0

¯:

749. Довести, що функцiя Грiна для

круга¯

fz : jzj < 1g

G(z; z0) = 2¼ ln

D =¯

¡zz00 ¯:

750. Довести, що функцiя Грiна

äëÿ

круга¯

fz :

jzj < Rg

G(z; z0) = 2¼ ln

D =¯

¡zz00

¯:

R(z

z )

751. Довести, що функцiя Грiна

для смуги¯

D =

¯ z : 0 <

z < 1

G(z; z0) = 2¼ ln

¯e¼z

¡ e¼z0

¯:

e¼z

e¼z0

752. Довести, що функцiя Грiна

для прямокутника¯ ¯

D = fz : ¡K < x <

+K; 0 < y < K0g ¹

¾(z; k)

¾(z0; k)

¯:

G(z; z0) = 2¼ ln ¯

¾(z; k)

¾(z0; k)

В прикладах 753 757 розв'язати¯ задачi Дiрiхле.¯

u x; y

â D =

x; y :

¡1

< x < +

; y > 0

;

753.

¢ (

) = 2

u(x; 0) =

;

A; B 2 R:

B2 + x2

3.5. Конформнi вiдображення

754.

¢u(½; Á) = 0; â D = f½; Á : ½ < 1; 0 < Á < 2¼g;

u(1; Á) =

½ sin Á;

¼ < Á < 2¼

cos Á;

0 < Á < ¼

755.

¢u(½; Á) = 0; â D = f½; Á : ½ < R; 0 < Á < 2¼g;

u(R; Á) = ½ 0;

¼0

< Á < 2¼ :

Á;

< Á < ¼

756.

¢u(x; y) = 0; â D = fx; y : ¡1 < x < +1; 0 < y < 1g;

u(x; 0) = ½ 0;

jjxjj > a

; u(x; 1) = ½

¡01;

jjxjj > b :

x < a

;

x < b

757.

â D = fx; y : ¡K < x < +K; 0 < y < K0g;

¢u(x; y) = 0;

u(x; K0) = 0 ¡ K < x < +K;

u(x; 0) = 1; ¡K < x < +K

u(§K; y) = ¡1 0 < y < K0:

Ÿ3.5. Конформнi вiдображення

Конформним вiдображенням â òî÷öi z0 назива¹ться вiдображення w = f(z), при якому ма¹ мiсце зберiгання кутiв i незалежнiсть масштабу

вiд напрямку. Вiдображення w = f(z) ¹ конформним в областi D, якщо функцiя f(z) ¹ аналiтичною i однолистною в областi D, а ¨¨ похiдна не рiвна нулевi в D.

Ÿ3.5.1. Дробово лiнiйнi функцi¨

Функцiя w		= ¾(z) =		az + b		a, b, c òà d комплекснi стали,
				cz + d,	äå
а вiдображення,¯ ¯
		яку вона здiйсню¹ дробово-лiнiйним вiдображенням.
Основнi властивостi¯ ¯			дробово-лiнiйних вiдображень:
причому	c d = ad ¡bc 6= 0 òà c 6= 0, ма¹ назву дробово-лiнiйно¨ функцi¨,
	a b

1± конформнiсть: дробово-лiнiйна функцiя здiйсню¹ конформне вiдображення розширено¨ комплексно¨ площини в себе;

2± групова властивiсть: сукупнiсть дробово-лiнiйних вiдображень утворю¹ групу;

3± кругова властивiсть: дробово-лiнiйна функцiя вiдображу¹ коло роз-

ширено¨ комплексно¨ площини на коло розширено¨ комплексно¨ площини.

48	Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

Визначення дробово-лiнiйного вiдображення за трьома точками: дробо- во-лiнiйне вiдображення площини z на площину w, що переводить точки

z1, z2, z3 íà w1, w2 òà w3 ма¹ вигляд:

w ¡ w1	w2	¡ w3	=
	¢ w2
w ¡ w3		¡ w1

z ¡ z1	z2	¡ z3	:
	¢ z2
z ¡ z3
		¡ z1

В прикладах 758 765 визначити дробово-лiнiйне вiдображення площини z на площину w, що переводить точки z1 7!w1, z2 7!w2, z3 7!w3.

758.

¡1 7!0,

i 7!2i, 1 + i 7!1 ¡ i.

762.

¡1 7! 1, 1 7!i, i 7!1.

759.

1, 2

i, 3

763.

¡1 7!0, 1 7! 1, i 7!1.

7! ¡

764.

1 7!1, i 7!i, 0 7! ¡1.

760. 1

3 1.

7! 1¡

765.

1=2 7!1=2

7!2

5=4 +

761.

, i

7!1 +

3i=4

¡1 7! 1 7!1

7! 1

В прикладах 766 767 знайти вiдображення верхньо¨ пiвплощини на

себе при наведеному нормуваннi.

766.

7!1, 1 7!2,

2 7! 1.

767. 0 7!1, i 7!2i.

В прикладах 768 774 знайти загальний вигляд дробово-лiнiйних вiдображень наведених областей.

768. Вiдображення пiвплощини Im z > 0 на пiвлощину Im w > 0. 769. Вiдображення пiвплощини Im z > 0 íà êðóã jwj < 1.

770. Вiдображення круга jzj < 1 íà êðóã jwj < 1.

771. Вiдображення круга jz ¡ z0j < R íà êðóã jwj < 1. 772. Вiдображення круга jzj < R на пiвлощину Im w > 0.

773. Вiдображення пiвплощини Re z > 0 íà êðóã jwj < 1.

774. Вiдображення пiвплощини Re z > 0 на пiвлощину Re w > 0.

Ÿ3.5.2. Вiдображення елементарними функцiями

Âприкладах 775 799 знайти образ областi D при вiдображеннi w(z).

775.D = fz : jzj < 1; Im z > 0g, w = 1 ¡ z

1 + z .

776.D = fz : z 2= [¡2; 1]g, w = z + 2 1 ¡ z .

777.D = fz : jz ¡ ij > 1; Im z > 0g, w = z1.

778. D = fz : 1 < jzj < 2g, w = z ¡ 1.

3.5. Конформнi вiдображення

779. D = fz : Im z > 0g, w = z

780. D = fz : Re z > 0g, w = z2

781. D = fz : ¼ < arg z < 3¼=2g, w = z2

782. D = fz : jzj > 1=2; Re z > 0g, w = z2

783.

D = fz

: j arg zj < ¼=8; z 2= [0; 1]g,

w = z8

784.

D = fz

: jzj < 1=2g,

w = 21 (z + 1=z).

785.

D = fz : jzj > 2g, w = 21 (z + 1=z).

786.

D = fz

: jzj < 1; z 2= [0; 1]g, w = 21 (z + 1=z).

787. D = fz : jzj < 1; 0 < arg z < ¼=2g,

w = 21 (z + 1=z).

788.

D = fz : jzj < 1; ¡3¼=4 < arg z < ¡¼=4g,

w = 21 (z + 1=z).

789.

D = fz : ¡¼ < Im z < 0g, w .= ez.

790. D = fz : jIm zj < ¼g, w = ez

791. D = fz : jIm zj < ¼=2g, w = ez

792.

D = fz : jIm zj < ¼=4g, w = th z.

793.

D = fz : 0 < Re z < ¼g, w = tg z.

794.

D = fz : 0 < Im z < ¼g, w = ch z.

795.

D = fz : Im z > 0g, w = ln z, äå w(i)

.= i¼=2.

796.

D = fz : ¡¼ < Im z < ¼g, w = z + ez

797. D = fz : jzj < 1g, w = ln

798.

D = ©z

2 ¡

, äå

2¼i.

: (

z) ¡ (

· 1=2ª

w = ln ¡z +

+ 1¢

w(0) =

799.

D = fz : Im z > 0; Re z > 0g, w = ln ¡z + p

z2 + 1

¢, äå w(2) > 0.

Ÿ3.5.3. Вiдображення Шварца Христоффеля

Розв'язок задачi про конформне вiдображення верхньо¨ пiвплощини на багатокутник да¹ вiдображення Шварца Христоффеля. Функцiя

Zz Yn

f(z) = C (z ¡ ak)®k¡1dz + w0

z0 k=1

здiйсню¹ конформне вiдображення верхньо¨ пiвплощини на обмежений n-кутник так, що

f(ak) = Ak;

кут при вершинi Ak äîðiâíþ¹ ¼®k, C, z0, w0 òà ak комплекснi стали.

50	Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

800. Вiдобразити верхню пiвплощину C+ в трикутник з кутами ¼=2; ¼=4; ¼=4 òàê, ùîáè

(a1; a2; a3) = (0; 1; 1) 7!(A1; A2; A3) = (0; !; ! + i!):

801. Вiдобразити верхню пiвплощину C+ в трикутник з кутами ¼=2; ¼=3; ¼=6 òàê, ùîáè

i! (a1; a2; a3) = (0; 1; 1) 7!(A1; A2; A3) = (0; !; ! + p3):

802. Вiдобразити верхню пiвплощину C+ в трикутник з кутами ¼=3; ¼=3; ¼=3
òàê, ùîáè						1 + ip
(a1; a2; a3) = (0; 1; 1) 7!(A1; A2; A3) = (0; !; !						1 + ip	3	):
(a1; a2; a3) = (0; 1; 1) 7!(A1; A2; A3) = (0; !; !						2		):
803. Знайти областi площини w; на якi функцiя
Z	t(t			¸)
z
вiдобража¹ верхню пiвплощину C+	çàpумови, що 1)¸ < 0; 2)0 < ¸ < 1=2,
w = f(z) =		t ¡ ¸			dt;
0			¡

3)¸ = 1=2, 4)1=2 < ¸ < 1, 5)¸ > 1.

804. Показати, що функцiя

w = f(z) = z®1¡1(1 ¡ z)®2¡1dz;

®1 > 0;0 ®2 > 0; ®1 + ®2 < 1

вiдобража¹ конформно верхню пiвплощину C+ в трикутник з вершинами

A1 = w(0) = 0; A2 = w(1) = ¡(®1)¡(®2); ¡(®1 + ®2)

A3 = w(1) = e{®1 ¡(®1)¡(1 ¡ ®1 ¡ ®2): ¡(1 ¡ ®2)

805. Показати, що функцiя

w = f(z) =

(1 ¡ z6)1=3

вiдобража¹ конформно круг jzj < 1 в правильний шестикутник з верши-

íàìè Ak = Ae{¼k=3; k = 1; 2; : : : ; 6; äå

A = ¡(1=6)¡(2=3): 6¡(5=6)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.201576.86 Кб22Citologіya.pdf
#
19.03.2015174.08 Кб20CIVIL.doc
#
19.03.2015125.44 Кб15Commercial_Law-Words_and_Collocations.doc
#
26.10.20181.87 Mб136Company law (2-d year).doc
#
28.10.20182.16 Mб240Company_law.doc
#
19.03.2015730.5 Кб9complan_problems.pdf
#
17.08.2019530.43 Кб20Conditional Overview. Exercises.doc
#
11.11.2019482.3 Кб1contr_zemel_ta_agrar_pravo.doc
#
15.08.201938.91 Кб3Conversational Phrases.doc
#
09.11.2019297.98 Кб1coord_bolon_2012.doc
#
20.11.2019864.77 Кб10course book.doc