- •Определенные интегралы
- •1. Интегральные суммы
- •3. Равномерно непрерывные функции
- •4. Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •7. Основные правила интегрирования
- •8. Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры
- •9. Объемы тел вращения
- •10. Несобственные интегралы
- •11. Интегрирование неограниченных функций
- •12. Интегрирование по бесконечному промежутку
- •13. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •14. Формула прямоугольников
- •15. Формула трапеций
10. Несобственные интегралы
При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными на отрезке интегрирования , а сам отрезок является конечным. Постановка задачи интегрирования возможна, когда одно из этих условий или оба они нарушены. В этом случае интегралы называются несобственными, а задача интегрирования формулируется несколько иначе. Рассмотрим оба случая:
Подынтегральная функция неограниченна;
Промежуток интегрирования бесконечен.
11. Интегрирование неограниченных функций
Предположим, что функция определена и непрерывна на промежуткеи стремится к бесконечности при. Точкуназываютособой, если функция не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке.
Определение: Пусть функция неограничена на отрезке, однако ограничена на любом меньшем отрезке, где. Тогда, если существует конечный предел, то его принимают за несобственный интегралот неограниченной функции, т.е.:
,
а интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Если особой точкой является точка , то несобственный интеграл определяется аналогично:
.
Если единственной особой точкой является внутренняя точка , принадлежащая интервалу, то полагают, что:
при условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся.
12. Интегрирование по бесконечному промежутку
Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке, т.е. существует определенный интеграл. Тогда за несобственный интегралпринимают предел. Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:
.
При рассмотрении интеграла с бесконечными верхним и нижним пределами выбирается произвольная промежуточная точкаи используется свойство аддитивности:
.
Если оба несобственных интеграла справа сходятся, то говорят, что существует и несобственный интеграл . Нетрудно показать, что выбор точкине влияет на конечный результат.
Следует отметить важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от определенных интегралов.
Известно, что для определенных интегралов справедливо утверждение: если существует , то существует и интеграл.
В случае несобственных интегралов имеет место следующее утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от. В этом случае говорят об абсолютной сходимости. В то же время, сходимостьне означает сходимости. В этом случаеназывается условно сходящимся.
13. Приближенное вычисление определенных интегралов
Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти значение интеграла с достаточно высокой точностью. Суть этих методов – в замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. При этом возникает альтернативный выбор: осуществить замену подынтегральной функции одним интерполяционным многочленом высокой степени, описывающим изменение функции на всем интервале интегрирования .