Определенные интегралы

1. Интегральные суммы

Пусть функция задана на сегменте,. Обозначим символомразбиение сегментапри помощи некоторых несовпадающих друг с другом точекначастичных сегментов,,,. Точки,,,будем называть точками разбиения. Пусть- произвольная точка частичного сегмента, а- разность, которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента.

Определение. Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиениюсегментаи данному выбору промежуточных точекна частичных сегментах.

Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение. Число называетсяпределом интегральных сумм при, если для любого положительногоможно указать такое число, что для любого разбиениясегмента, для которого максимальная длиначастичных сегментов меньше, независимо от выбора точек, на сегментахвыполняется неравенство

, т.е. .

Определение.: Функция называетсяинтегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный пределинтегральных сумм этой функции при. Указанный пределназываетсяопределенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа иназываются, соответственно,верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования. В случаеопределенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось, линиии, а также график функции. Обозначим черезисоответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте.

Определение: Суммы:

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиениясегмента.

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиениясегментазаключена между верхней и нижней суммойиэтого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

1. Для любого фиксированного разбиения и для любогопромежуточные точкина сегментахможно выбрать так, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам. Точкина сегментахможно выбрать также и таким образом, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам.

2. Если разбиение сегментаполучено путем добавления новых точек к точкам разбиенияэтого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенстваи.

3. Пусть и- любые два разбиения сегмента. Тогда если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи, тои.

4. Множество верхних сумм данной функциидля всевозможных разбиений сегментаограничено снизу. Множествонижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множестваверхних сумм, а через- точную верхнюю грань множества нижних сумм.

Определение: Числа иназываются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции.

5. Пусть разбиение сегментаполучено из разбиениядобавлением к последнемуновых точек, и пусть, если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи. Тогда для разностейиможет быть получена оценка, зависящая от максимальной длинычастичных сегментов разбиения, числадобавленных точек и точных верхней и нижней гранейифункциина сегменте. Именнои.

6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу иот функциипо сегментуявляются соответственно пределами верхних и нижних сумм прии, следовательно,:

, , и при этом.

2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функциябыла интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое разбиениесегмента, для которого_.

Определение: Число называется колебанием функциина сегменте.

Так как , то. Далее запишемв следующей форме:

.

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функциябыла интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое разбиениесегмента, для которого.

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия

, или , где.