3. Равномерно непрерывные функции

Определение: Функция называетсяравномерно непрерывной на множестве , если для любого числаможно указать такое, что для любых двух точекимножества, удовлетворяющих уравнению, выполняется неравенство.

Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности): Функция , определенная и непрерывная на сегментеравномерно непрерывна на этом сегменте.Следствие: Пусть функция непрерывна на сегменте. Тогда для любого числаможно указать такое, что на каждом принадлежащем сегментучастичном сегменте, длинакоторого меньше, колебаниефункциименьше.

4. Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций

Теорема: Непрерывная на сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.

Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого числаможно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую длину меньше, тоинтегрируема на сегменте.

Следствие: Ограниченная на сегменте функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно-непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Монотонная на сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.

5. Основные свойства определенного интеграла

1. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):

.

2. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

3. Пусть функции иинтегрируемы на сегменте, тогда функции,итакже интегрируемы на этом сегменте, причем:

.

4. Если функция интегрируема на сегменте, то функция(=const) интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Если функция интегрируема на сегменте, то эта функция интегрируема на любом сегменте, содержащемся в сегменте.

6. Пусть функция интегрируема на сегментахи. Тогда эта функция интегрируема на сегменте, причем:

.

6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения

1. Пусть интегрируемая на сегменте функциянеотрицательна на этом сегменте. Тогда:

.

2. Если функция интегрируемая на сегментеи, то:

.

3. Если функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте, то:

.

Если функции иинтегрируемы на сегментеивсюду на этом сегменте, то:

.

4. Если функция _, интегрируемая на сегменте , то и функциятакже интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Пусть функции иинтегрируемы на сегментеи. Тогда, еслии- точные гранина сегменте, то:

.

6. Пусть функция интегрируема на сегменте, и пустьи- точные гранина сегменте. Тогда найдется такое число, удовлетворяющее неравенствам, что.

7. Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале функцияимеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

,

где - любая фиксированная точка интервала_.

Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразнаянепрерывной на сегментефункцииимеет вид:

где - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала , затем_, и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

, .

Из этих равенств вытекает соотношение:

,

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) Функция непрерывна на отрезке;

2) отрезок является множеством значений некоторой функции, определенной на отрезкеи имеющей на этом отрезке непрерывную производную;

3) ,.

При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции иимеют непрерывные производные на сегменте. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

.

Так как и, то эту формулу можно записать следующим образом:

.