45. Общее и стационарное уравнения Шредингера, их применение для решения физических задач

В основе обычной механики лежат уравнения Ньютона. В этих уравнениях используется понятие траектории. Установлено, что состояние микрочастицы в квантовой механике задается волновой функцией (амплитудой вероятности), которая является функцией пространственных координат и времени.

Именно волновая функция, или точнее, величина , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами (x, x+dx), (y, y+dy), (z, z+dz). В основу квантовой механики должно быть положено такое уравнение, решением которого являлась бы волновая функция.

Следовательно, основное уравнение должно быть волновым уравнением.

Так как из искомого уравнения должно быть получено уравнение волны, то оно должно быть волновым уравнением. Такое уравнение впервые было предложено в 1926 году Шредингером. Релятивистский вариант уравнения был дан Дираком. Уравнение Шредингера, как и многие основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике, уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется.

Уравнение Шредингера (так называемое общее или нестационарное уравнение Шредингера) имеет вид: – потенциальная функция частицы в силовом поле.

Решением уравнения Шредингера является пси-функция. Но: определить конкретный вид этой функции в каждой конкретной задаче – основная и очень трудная задача.

Очевидно, что вид этой пси-функции зависит от функции . Для многих практически важных случаев уравнение можно упростить, если движение частиц происходит в стационарном силовом поле. Такие состояния называются стационарными или состояниями с фиксированными значениями энергии.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии частицы во внешнем поле. Ψ-функция приобретает вид: .

Подставляя (1) в (*), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию : (217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля

ћ=h/(2), т—масса частицы, —оператор Лапласа i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

46. Резерфордовская модель строения атома. Модель Бора

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов Э. Резерфорда по рассеянию -частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряжен­ными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Пучки -частиц обладают высокой монохроматичностью (для данного превращения имеют практически одну и ту же скорость

На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Zе (Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева, е — элементарный заряд), размер 10–15—10–14 м и массу, практически равную массе атома, в обл. с линейными размерами порядка 10–10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Т.к.атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов. 2 закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид (208.1) где тe, и v — масса и скорость электрона на орбите радиуса r, 0 — электрическая постоянная. Уравнение (208.1) содержит два неизвестных: r и v. Следовательно, существует бесчисленное множество значений радиуса и соответствующих ему значений скорости (а значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому величины r, v (следовательно, и Е) могут меняться непрерывно, т. е. может испускаться любая, а не вполне определенная порция энергии.

МОДЕЛЬ БОРА:

Как предположил Резерфорд, вращающиеся электроны удерживаются на стационарных круговых орбитах за счет равновесия кулоновской силы взаимодействия между положительно заряженным ядром (+Ze) и отрицательными электронами (–e), с одной стороны, и центробежной силой, с другой: , где m — масса электрона, vn — его скорость на n-ой орбите, rn — расстояние от ядра до электрона, находящегося на n-ом уровне; Z — зарядовое число ядра (для водорода Z = 1, для гелия Z = 2, для лития Z = 3 и т.д.). Учитывая известное соотношение , где ωn — круговая частота, которую можно выразить через частоту () и период (Tn) колебания электрона на круговой орбите, приходим к третьему закону Кеплера: . Далее Бор воспользовался идеей Планка о квантовом излучении энергии, которая у него стала зависеть от главного квантового числа n: En = nh. При переходе электрона с одной орбиты (m) на другую (n) и обратно происходит поглощение или испускание излучения с частотой , которая будет пропорциональна разности En – Em. Вместо энергии можно воспользоваться выражением для импульса: p = mvnrn = nh/2π = nћ. Комбинируя данное выражение с исходной формулой равенства кулоновской силы с центробежной, при условии Z = 1 и n = 1, т.е. для первого уровня атома водорода, находим так называемый боровский радиус электрона, вошедший сегодня во все справочники по физике: r1 = ћ2/me2 = 0,528 × 10–8 см, что хорошо согласовалось с данными по рассеянию α-частиц. Но самым замечательным оказалось совпадение эмпирически найденного значения постоянной Ридберга (R) с вычисленным ее значением по модели Бора. В самом деле, полная энергия электрона на n-ом уровне в атоме складывается из кинетической (K) и потенциальной (U) энергий: En = Kn + Un = .

Воспользовавшись еще раз самым первым условием, мы легко находим связь между потенциальной и кинетической энергиями, которая равна K = –U/2. Следовательно, энергия электрона на стационарном уровне равна: En = . Формула Бальмера составляется из разности энергий, тогда частота излучаемой или поглощаемой электромагнитной волны равна:

fmn = (En – Em)/h = = ,

где m < n. При m = 1 получались ультрафиолетовые лучи серии Лаймана, при m = 2 — видимые лучи серии Бальмера, при m = 3 — инфракрасные лучи серии Пашена, при m = 4 — инфракрасные лучи серии Брэкетта, при m = 5 — инфракрасные лучи серии Пфундта. Таким образом, постоянная Ридберга, найденная при Z = 1 экспериментальным путем из спектров излучения и поглощения различных серий, равная R = 109678 см–1, более не являлась фундаментальной (т.е. независимой от других) постоянной.