Новая папка / № 3

№3. Методика разноуровневого изучения действительных чисел.

Множество рациональных чисел не заполняет всю координатную прямую. Например, геометрически легко отложить от начала координат отрезок q, где , однако известно, что, ни при каком q.

Итак, на прямой есть точки, которым не соответствует никакое рациональное число. Это значит, что множество всех точек прямой с рациональными координатами имеет проколы.

Для этого определяют множество R,содержащее Q,так, чтобы заполнить любой прокол во множестве рациональных чисел.

До недавнего времени изучение действительных чисел в средней школе завершалось формированием у школьников понятия числа, учитывая вместе с тем, что материал о действительных числах составляет основу математического анализа. По поводу изучения действительных чисел в школе высказываются различные точки зрения. Действительно существовало мнение о том, что невозможно и нецелесообразно рассматривать в школе более или менее корректное изложение теории действительных чисел. Эта точка зрения аргументировалась тем, что вообще говоря, сам материал сложен и методическое обеспечение разработать весьма сложно. Наряду с этими существует мнение, что в школе можно и нужно дать разумеется адаптированное для школьников теорию действительных чисел либо по Кантору, либо по Вейерштрассу.

Вместе с тем существует еще ряд теорий.

1.Усиление внимания изучения действительных чисел в основной школе.

2.В старших классах, на базовом и гуманитарном уровне сказано в программе, что надо систематизировать те знания, которые ученикам уже известны:

А) повторить, изложить вопрос о расширении понятия числа. Под расширением числового множества понимают: Пусть множество А расширяют до множества В, тогда расширение должно удовлетворять следующим 4 условиям

1.Множество А есть подмножество множества В.

2.Все операции, которые выполнялись во множестве А, выполняются и во множестве В, причем смысл и свойства операции, которые выполняются во множестве А остаются неизменными и во множестве В.

3.Во множестве В выполняются операции, которые не выполняются на множестве А. В этом и состоит смысл расширения множества А. Множество В должно быть минимальным, т.е. среди всех возможных расширений множества А, удовлетворяющих перечисленным условиям, не существовало бы никакого подмножества А содержащего множество В, но не совпадающего с ним, но удовлетворяющее этим же условиям.

Возможны два пути расширения числового множества:

1)Можно строить множество В, как новое множество чисел и отождествлять некоторые его подмножества с множеством А.

2)Дополняем известное множество А, новым множеством А’ и получаем новое множество В, являющееся объединением нового множества А и А’=В

Множество действительных чисел это объединение рациональных и иррациональных чисел.

Необходимо на базовом уровне познакомить учеников со свойствами множества R:

1.Множество R содержит множество Q;

2.Множество R бесконечное множество;

3.Взаимно-однозначное соответствие между прямой и множеством: Любому действительному числу соответствует одна точка числовой прямой и, наоборот, любой точке соответствует одно действительное число.

Ребята должны знать, что во множестве действительных чисел выполняются четыре арифметические операции (+,-,*,/) и добавляется еще одна операция извлечения корня.