Формирование понятия производной в средней школе.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение 2-х задач: 1)физической – задача о мгновенной скорости движения; 2)геометрической – о касательной к линии. Т.е. понятие производной функции должно формироваться на основе задач, приводящих к этому понятию. Заметим, что чем задачи разнороднее, тем лучше, так как именно разнородность приложения подчеркивается общность понятия производной. Отметим также, что рассмотрение задачи о мгновенной скорости позволяет выяснить механический смысл производной, а задачи о касательной к линии – ее геометрический смысл.

Внимание учащихся обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к следующему.

А) Рассматривается функция f(x), определенная на некотором интервале (a,b). Берется некоторая точка х – фиксированная точка интервала (a,b) и точка х+- произвольная точка интервала (a,b) (- приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным), т.е. а<x<b,a<x+<b.

Б) Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента :=f(x+) –f(x), и затем отношение приращения функциик вызвавшему его приращению аргумента:

Данное отношение есть функция переменной , определенная для всех значенийиз интервала (a-x,b-x), кроме=0.

В) Ищется придел функции F() при→0, и, если он существует, то его называют производной функцииf(x) в данной точке х.

Таким образом, естественно возникает следующее определение: производной функции f(x) в точке х называется придел отношения приращения данной функции в точке х к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.

Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

1. Исследование функций на монотонность

Н

рис 1

Рисунок 2

а рис.1 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции

. Проведем касательные к графику в точкахх=х₁ их = х₂.Что общего у построенных прямых? Общее то, что обе они со­ставляют с осьюхострый угол, а значит, у обеих прямых положитель­ный угловой коэффициент. Но угло­вой коэффициент касательной ра­вен значению производной в абсцис­се точки касания. Таким образом,и. А в точкех =касательная параллельна осих,в этой точке выполняется равен­ство. Вообще в любой точ­кехиз области определениявозрастающейдифференцируемой функции выполняется неравенство.

На рис.2 представлен график некоторой убывающей дифференци­руемой функции. Проведем касательные к графику в точкахх=х₁ их = х₂.Что общего у по­строенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осьюхтупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффи­циент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом,и. А в точке х =касательная параллель­на оси х,в этой точке выполняется равенство. Вообще в любой точкехиз области определенияубывающейдифферен­цируемой функции выполняется неравенство.

Эти рассуждения показывают, что между характером моно­тонности функции и знаком ее производной есть определенная связь: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функ­ция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные те­оремы, показывающие, как по знаку производной можно уста­новить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые про­межутки, т. е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке ,не очень коррект­но ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точкех = аили в точкех = b),поскольку в точкех=априращение аргумента может быть только положи­тельным, а в точкех=b —только отрицательным. В определе­нии производной такие ограничения не предусмотрены.

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство (причем равенствовыполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функциявозрастает на промежуткеX.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство(причем равенствовыполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функцияубывает на промежуткеX.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждени­ями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физи­ческое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка, — закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т. е. функциявозрастает. Если же скорость все время отрицательна, то точка постоянно приближается к началу отсчета, т. е. функцияубывает. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функциявозрастает. А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции — в данном случае функции.Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Завершая рассуждения об исследовании функций на монотонность, обратим внима­ние на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке Хвыполняется не­равенство, то функция возрастает на промежуткеX;если же на промежуткеХвыполняется неравенство, то функция убывает на этом про­межутке. А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество ? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден — это по­стоянная функция(букваС— первая буква словаconstanta, что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничи­ваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство , то функцияпостоянна на промежуткеX.