1. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Пусть функция у = f(х)непре­рывна на отрезке [а;b] —несколько графиков таких функций представ­лено на рис. 146. Анализируя указанные геометрические модели, можно прийти к следующим выводам.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наи­меньшего значений.

Это весьма солидная теорема кур­са математического анализа, доказа­тельство ее требует достаточной продвинутости в изучении курса.

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

наименьшее значение достигается внутри отрезка, а наибольшее — в концевой точке. и наибольшее и наименьшее зна­чения достигаются в концевых точках.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигает­ся внутри отрезка, то только в стационарной или критиче­ской точке.

В этом нет ничего удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или наименьшее) значение функции одновременно является экстремумом, а экстремум достигается только в ста­ционарной или критической точке.

Подводя итог сказанному, нетрудно составить

АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ у =f(х)НА ОТРЕЗКЕ [а;b]

1. Найти производную f(x).

2. Найти стационарные и критические точки функции, ле­жащие внутри отрезка [а; b].

3. Вычислить значения функции у =f(х)в точках, ото­бранных на втором шаге (п. 2), и в точках а иb; вы­брать среди этих значений наименьшее (это будет) и наибольшее (это будет)

А как быть, если речь идет об отыскании наибольшего наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, например, на интервале? Можно построить график функции и снять информацию с полученной графической модели. Но чаще оказывается более удобным использовать дующую теорему.

Теорема.Пусть функцияу = f(х)непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку.Тогда:

а) если —точка максимума, то;

б) если —точка минимума, то.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин

Российский математик XIXв. П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкто­ры пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т. д.

Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию. В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с дву­мя величинами, одна из которых зависит от другой, причем на­до найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наименьшее или наибольшее (наилучшее в дан­ных условиях) значение.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования: 1) составление матема­тической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос зада­чи. Прежде чем переходить к конкретным примерам решения задач на оптимизацию, дадим некоторые рекомендации методи­ческого плана.

Первый этап.Составление математической модели.

1)Проанализировав условия задачи, выделитеоптимизируе­мую величину(сокращенно: О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквойу(илиS,V,R,t— в зависимости от фабулы).

2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, че­рез которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную(сокращенно: Н. П.) и обозначьте ее буквойх(или какой-либо иной буквой). Установитереальные границыизменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О, В.

3) Исходя из условий задачи, выразите учерезх.Математи­ческая модель задачи представляет собой функциюу=f(x) с областью определенияX,которую нашли на втором шаге.

Второй этап.Работа с составленной моделью. На этом этапе для функцииу=f(x),х € Х найдите. или зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые получили в п. 1 данного параграфа.

Третий этап.Ответ на вопрос задачи. Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.