3. Построение графиков функций

В основном вы строили графики «по точкам», т. е. для заданной функции находили контрольные точки,,,и т. д., отмечали их на координатной пло­скости и, полагаясь на интуицию, соединяли найденные точки плавной кривой. Как выбирали эти контрольные точки? Иногда обдуманно, например, строили вершину параболыу = ах² + bх + с или специально искали точки пересечения графика функцииу=f(x)с осями координат. Но чаще выбор контрольных точек был случайным, «по наитию».

Графики любых функций строят по точкам. Но в тех случа­ях, когда вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выби­рать со смыслом — уметь выделять особо важные точки графи­ка, которые определяют его структуру. Об этом мы уже говори­ли выше, когда строили графики функций у = 2х³ +Зх²- 1 иу =Зx⁴- 16х³+ 24x²- 11. К особо важным точкам графика функцииу =f(x)относят:

— стационарные и критические точки;

— точки экстремума;

— точки пересечения графика с осями координат;

— точки разрыва функции.

В тех случаях, когда речь идет о построении графика незна­комой функции, когда заранее невозможно представить вид гра­фика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике. Когда такое представление составится, можно при­ступить к построению графика по точкам.

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы.

1)Если функцияу =f(x)непрерывна на всей числовой пря­мой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересече­ния графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек.

2)Если функцияу =f(x)определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с отыскания области определения функции (если область не задана) и с указания ее точек разрыва.

3)Полезно исследовать функцию на четность, поскольку графики четной или нечетной функции обладают симметрией (соответственно относительно осиуили относительно начала ко­ординат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при , азатем достроить симметричную ветвь.

4)Если то, как известно, прямая

у = bявляетсягоризонтальной асимптотойграфика функцииу = f(х).Асимптоту следует строить на координатной плоско­сти, она дает своеобразный ориентир для графика.

5)Горизонтальная асимптота ха­рактеризуется условием: если, тоу.При условии: еслих—>а,тоу, — прямаях=аявляетсявер­тикальной асимптотойграфика функ­цииу = f(х).

Самый распространенный признак существования верти­кальной асимптоты заключается в следующем:

если приx=а знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то х=а — вертикальная асимптота графика функцииу = f(х).

В следующих примерах учтем все вышеуказанные обстоя­тельства и построим графики функций, придерживаясь опреде­ленной схемы.

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значении величин